Binomial verteilte Zufallsvariablen - lehrer.uni

Mathematik 11b
11. Oktober 2000
1. Klassenarbeit
Thema: Binomialverteilte Zufallsvariablen
Name: <KLASSE>
(Nr. <NR.>)
0. Für saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in
ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift erhältst du bis zu 3 Punkte.
Punkte
/3
1. Berechne exakt die Wahrscheinlichkeit, mit der bei 6-maligem Werfen eines idealen
Würfels höchstens 1-mal die Sechs fällt.
/4
2. Nach einem Pressebericht hatten 1983 nur 6,3 % der 15- bis 24-Jährigen völlig gesunde
Zähne; heute beträgt der Prozentsatz dieser Altersgruppe rund 25 %. Erreicht wurde dies
durch die gestiegene Zufuhr von Fluoriden über Zahnpasta und Speisesalz. Eine Zahnärztin untersucht 20 Personen dieser Altersgruppe.
a) Mit wie vielen Personen mit völlig gesunden Zähnen kann sie etwa rechnen?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mehr als 8 Personen völlig gesunde Zähne?
Verwende dazu eine der Tabellen auf der Rückseite.
/5
3. Bestimme aus einer Tabelle auf der Rückseite für eine B25;0,7-verteilte Zufallsvariable:
P(X = <NR.>).
/4
4. Die GFBM (Gesellschaft zur Förderung der Buchstaben in der Mathematik) hat ein neues
Lottospiel entwickelt. Jeder Buchstabe von A bis Z (ohne Umlaute) wird jeweils einmal auf
einen Ball geschrieben. Alle Bälle werden in eine undurchsichtige Lostrommel gelegt und
blind (mit Zurücklegen) pro Spiel fünf Ziehungen vorgenommen.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man nur Vokale?
b)
Der Spieleinsatz beträgt 1 • . Pro gezogenem Vokal erhält man 1 • ausbezahlt.
Wie hoch sind deine Gewinnaussichten auf lange Sicht?
/6
5. Die Zufallsvariable X ist B10;0,3-verteilt.
a) Berechne und .
).
b) Berechne P( X −
c) Zeichne auf eine neue Seite ein Stabdiagramm der Verteilung von X. Wähle auf der
k-Achse 1 cm pro Einheit und trage die Wahrscheinlichkeiten im Maßstab 20 : 1 auf.
/8
JOKER: Verwende möglichst wenige der folgenden Zahlen 4, 5, 6, 10, 25, 50 höchstens
einmal, um mit Hilfe der vier Grundrechenarten und eventuell Klammern die Zahl 442( 2)
in einem Term zu berechnen.
Punkte:
(von 30)
Schnitt:
Note:
Median:
Standardabweichung:
Rückgabe 2000-10-13
/3
Mathematik 11b
11. Oktober 2000
Erwartungshorizont
1. n = 6, p = 16 , X gibt die Anzahl der 6er an:
P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
6 1 0
6 1 1
( 6 ) (1 − 16 ) 6 +
( ) (1 − 16 ) 5
=
0
1 6
6
5
= 1 ( 56 ) + 6 16 ( 56 ) = 15625+18750
= 34375
46656
46656
( 0, 73678 )
2. a) Gesucht ist der Erwartungswert = n p = 20 0, 25 = 5.
b) X ist die Anzahl der Personen mit völlig gesunden Zähnen. p = 0,25; n = 20.
P(X 8) = 1 − P(X 7) 1 − 0, 8982 = 0, 1018
3. Jede Klassenarbeit unterscheidet sich hier: P(X = k) ist gesucht, wobei k die Nummer des
Schülers oder der Schülerin im Alphabet ist. Da die Einzelwerte nicht tabelliert sind, muss
hier die Summentabelle verwendet werden, und zwar so:
für k > 0: P(X = k) = P(X k) − P(X k − 1)
für k = 0 kann der tabellierte "Summenwert" verwendet werden.
4. X beschreibt die Anzahl der Vokale pro Lottospiel (à 5 Ziehungen, also n = 5).
Die Wahrscheinlichkeit einen Vokal (A, E, I, O oder U) zu ziehen, beträgt jedes Mal
5
5 5
3125
( 26
) = 11881376
a) P(X = 5) =
0, 026%
5
5
b) Auf lange Sicht erhält man pro Spiel = n p = 5 26
= 25
26 •, bei 1 • Einsatz.
1
Der Netto-"Gewinn" liegt also bei − 26 • pro Spiel - keine guten Aussichten!
5
26 .
"
!
#
!
!
5. a) = n p = 10 0, 2 = 2;
= n p (1 − p) = 1, 6 =
) = P( −
b) P( X −
X
+ ) = P(1 X 3)
= P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 0, 7717
c) siehe Abbildung
2
5
#
$
!
%
%
10
&
1, 26
'
!
(
$
'
$
(
(
'
$
(
(
&
JOKER:
3 Punkte für:
442 = (6 + 5) 10 4 + 50 : 25
2 Punkte für
441 = (50 − 6) 10 + 5 − 4
443 = [(50 + 6) 4 10 − 25 ] : 5
1 Punkt für
440 = (50 − 6) 10
444 = (50 − 6) 10 + 4
)
)
)
)
)
)
)