Leistungskurs 13.1, Jg. 98/99, HhG

2004/05 , 13.1 , LK Mathematik
Bonn, den 19. November 2004
Übungsaufgaben Nr. 5
1. Ein Tetraederwürfel wird 100mal geworfen .
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Vier höchstens 15mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
fällt sie mindestens 15mal, aber höchstens 25mal ?
(b) Man berechne Erwartungswert und Varianz für die Anzahl der Vieren.
2. Benutzung der Tabelle für die Binomialverteilung.
(a) Ein Taxistand ist für 10 Taxen vorgesehen. Die Erfahrung zeigt, daß ein Wagen sich
durchschnittlich 12 Minuten pro Stunde am Standplatz aufhält. Wieviele Taxen halten sich
durchschnittlich am Stand auf ? Genügt es, den Standplatz für 3 wartende Wagen anzulegen,
ohne daß dadurch in mehr als 15 % aller Fälle ein Taxi keinen Platz findet ?
(b) Von einem Schock Eier sind im Schnitt drei angeschlagen. Wieviele Eier unter 40 sind im Schnitt
angeschlagen ? Jemand kauft 40 Eier und findet 5 angeschlagene. Hat er besonderes Pech ?
3. X und Y seien die jeweils gegebenen Zufallsvariablen. Man berechne die Errwartungswerte der Zufallsvariablen X, Y und X + Y.
(a) X = Maximum / Y = Minimum der Augenzahlen beim 6-Punkte-Domino
(b) X = Würfeln mit einem Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl proportional ist.
Y = Würfeln mit einem Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit dem Term "7 - Augenzahl" proportional ist.
4. Ähnlich wie Dominosteine kann man auch Triminosteine betrachten. Hier sind zwei Triminosteine
abgebildet :
Diese Steine sind verschieden. Wir wollen sie aber als gleich annehmen (etwa indem wir sie als
durchsichtig ansehen und sie dadurch umdrehen können).
(a) n - 1 sei die Höchstzahl der Augen, die in einem Feld sein dürfen. Man gebe eine Formel für die
Anzahl der "durchsichtigen" Triminosteine. (Achtung : es gibt auch leere Felder !)
(b) Nun sei n = 4. X sei das Maximum, Y der Median und Z das Minimum der Augenzahlen auf einem Triminostein. Man berechne für die Zufallsvariablen U = Summe der Augenzahlen auf einem Triminostein und V = Produkt der Augenzahlen auf einem Triminostein den Erwartungswert.
(c) Man berechne für das U aus (b) E(U) auch für beliebiges n.
5. Bei dieser Aufgabe geht es um ein 9-Punkte-Domino.
(a) Es wird ein beliebiger Stein gezogen und die größere Zahl notiert. Die Zufallsvariable zu diesem
Zufallsversuch sei X. Man bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, zeichne ein Histogramm und berechne E(X).
(b) Man löse (a) analog für die Zufallsvariable Y = kleinere der beiden Augenzahlen.