und SS 2011 Sozialstatistik Übungen zum Basismodul Statistik Blatt

Lehrstuhl für Wirtschafts- und
Sozialstatistik
SS 2011
Übungen zum Basismodul Statistik
Blatt 9
Die Aufgaben werden in der Übung am Donnerstag, dem 23.06.2011, 14:15 – 15:45 Uhr im
HS 2 (Carl-Zeiß-Str. 3) besprochen.
Aufgabe 38
Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern   10 und  ²  9 .
a) Bestimmen Sie P ( X  10) , P ( X  10) und P ( X  11) .
b) Wie groß ist P (6  X  8) ?
c) Bestimmen Sie den Wert x, bei dem die Verteilungsfunktion den Wert 0,6 annimmt.
Aufgabe 39
Sei (X, Y ) eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable mit
1
 ( x  y ) , x  {0; 1; 2} und y  {2; 3; 4}
P ( X  x, Y  y )   36
0
, sonst

a) Zeigen Sie, dass P ( X  x, Y  y ) eine Verteilung ist.
b) Berechnen Sie P(0  X  2 ; 2  Y  4) , P(X  0 ; Y  3) , P(X  0 ; Y  3) und
P ( 0  X  2) .
c) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
Aufgabe 40
Es wird mit zwei fairen Würfeln gewürfelt. Der erste Würfel besitzt die Zahlen eins bis sechs,
der zweite Würfel hat jeweils zwei Seiten mit der Zahl eins, mit der Zahl zwei und mit der
Zahl drei. Sei X die Augenzahl des ersten und Y die Augenzahl des zweiten Würfels. Geben
Sie die gemeinsame Verteilung an.
Aufgabe 41
Sei (X, Y ) eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable mit gemeinsamer Verteilung:
X=1
X=2
X=3
Y=1
0,2
0,1
0
Y=2
0,1
0,05
0,15
Y=3
0,15
0,25
0
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und Y.
b) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y.
c) Geben Sie die gemeinsame Verteilung für den Fall an, dass X und Y unabhängig sind,
wobei die Randverteilungen durch Teilaufgabe a) gegeben sind.
Aufgabe 42
Es wird mit zwei fairen Würfeln gewürfelt. Auf Basis der beiden gewürfelten Augenzahlen
seien zudem die folgenden Zufallsvariablen definiert.
X
1 falls Summe der Augenzahlen eine Primzahl
0
sonst
Y
1
0
falls Produkt der Augenzahlen eine Primzahl
sonst
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und Y.
b) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y an.
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
c1) die Summe der Augenzahlen keine Primzahl ist, falls das Produkt der Augenzahlen
eine Primzahl ergibt?
c2) das Produkt der Augenzahlen eine Primzahl ergibt, falls die Summe der Augenzahlen
eine Primzahl ist?