4.1. Beispiele zur Anwendung Laplacescher
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4.1. Beispiele zur Anwendung Laplacescher Wahrscheinlichkeitsräume.
Es sei angenommen, daß vier faire Würfel unabhängig voneinander geworfen werden. Zur Modellierung dieses Geschehens kann mit dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P), wobei Ω = {1, . . . , 6}4 1, F = Pot(Ω) und P die Gleichverteilung auf
(Ω, F) ist, gearbeitet werden.
(a) Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1 , daß alle vier Augenzahlen verschieden sind 2?
Lösung: Aufgrund von (1) gilt im vorliegenden Fall
|{ω ∈ Ω : ωi 6= ωj , falls i 6= j}|
|Ω|
Anzahl der Wurfsequenzen mit vier verschiedenen Augenzahlen
=
Anzahl aller Wurfsequenzen
5
3 6·5·4·3
=
=
.
64
18
p1 =
(b) Frage: Die Würfel seien durchnummeriert 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p2 , daß die geworfenen Augenzahlen streng monoton steigend sind 5?
Lösung: In dieser Situation führt (1) zu
|{ω ∈ Ω : ω1 < ω2 < ω3 < ω4 }|
|Ω|
Anzahl
der
4-elementigen
Teilmengen von {1, . . . , 6}
=6
|Ω|
6
1
6!
5
4
=
.
=7 4 = 4·
6
6 4! · 2!
432
p2 =
Die Lösungen der Abzählprobleme in diesen und vielen anderen Beispielen der
elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie 8 können häufig mit Hilfe der im folgenden
Abschnitt 4.2 eingeführten sog. Urnenmodelle bestimmt werden.
1Ω = {1, . . . , 6}4 = {(ω , . . . , ω ) : ω , . . . , ω = 1, 2, . . . , 6}. Für i = 1, . . . , 4 beschreibt ω die
1
4
1
4
i
Augenzahl des i-ten Würfels.
2In Aufgabe 3 wurde die entsprechende Frage mit sechs Würfeln untersucht.
3Der Zähler ergibt sich folgendermaßen: Für den ersten Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, dannach
verbleiben für den zweiten Wurf noch 5 Möglichkeiten. Für den dritten und den vierten Wurf gibt
es schließlich noch 4, bzw. 3 Möglichkeiten.
4Bei der Lösung der Frage (a) war auch implizit angenommen worden, daß die Würfel nummeriert sind.
5D.h., daß ω < ω < ω < ω .
1
2
3
4
6In einer 4-elementigen Teilmenge von {1, . . . , 6} entspricht nun das kleinste Element der Augenzahl ω1 des ersten Wurfs, das zweitkleinste Element der Augenzahl ω2 des zweiten Wurfs,
....
7
Weitere Details zur Bestimmung der Anzahl
` ´ r-elementiger Teilmengen einer N -elementigen
Menge mit Hilfe des Binomialkoeffizienten N
folgen in Abschnitt 4.3.
r
8
Ein solches Beispiel wäre die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, daß in einer Gruppe von
100 Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben.
1
