Aufgabe 11 - Lehrstuhl für Wirtschafts

Lehrstuhl für Wirtschafts- und
Sozialstatistik
SS 2012
Übungen zum Basismodul Statistik
Blatt 11
Die Aufgaben werden in der Übung am Freitag, dem 06.07.2012, 08:15 – 09:45 Uhr im HS 2
(Carl-Zeiß-Str. 3) besprochen.
Aufgabe 55
Sei (X, Y) eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable mit
1
 ( x  y ) , x {0;1; 2} und y {2; 3; 4}
P( X  x, Y  y )   36
0
, sonst

a) Zeigen Sie, dass P( X  x, Y  y) eine Verteilung ist.
b) Berechnen Sie P(0  X  2 ; 2  Y  4) , P(X  0 ; Y  3) , P(X  0 ; Y  3) und
P(0  X  2) .
c) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
Aufgabe 56
Es wird mit zwei fairen Würfeln gewürfelt. Der erste Würfel besitzt die Zahlen eins bis sechs,
der zweite Würfel hat jeweils zwei Seiten mit der Zahl eins, mit der Zahl zwei und mit der
Zahl drei. Sei X die Augenzahl des ersten und Y die Augenzahl des zweiten Würfels. Geben
Sie die gemeinsame Verteilung an.
Aufgabe 57
Sei (X, Y) eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable mit gemeinsamer Verteilung:
X=1
X=2
X=3
Y=1
0,2
0,1
0
Y=2
0,1
0,05
0,15
Y=3
0,15
0,25
0
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und Y.
b) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y.
c) Geben Sie die gemeinsame Verteilung für den Fall an, dass X und Y unabhängig sind,
wobei die Randverteilungen durch Teilaufgabe a) gegeben sind.
Aufgabe 58
Es wird mit zwei fairen Würfeln gewürfelt. Auf Basis der beiden gewürfelten Augenzahlen
seien zudem die folgenden Zufallsvariablen definiert.
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und Y.
b) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y an.
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
c1) die Summe der Augenzahlen keine Primzahl ist, falls das Produkt der Augenzahlen
eine Primzahl ergibt?
c2) das Produkt der Augenzahlen eine Primzahl ergibt, falls die Summe der Augenzahlen
eine Primzahl ist?
Aufgabe 59
Während der Tour de France werden die Radrennfahrer zu Dopingkontrollen gebeten. Erfahrungsgemäß sind unter den kontrollierten Radrennfahrern 15 % Dopingsünder. Eine Dopingprobe soll klären, ob der Grenzwert verbotener Stoffe im Urin überschritten wird. Diese Probe
irrt sich bei Dopingsündern mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % (d. h. sie ist negativ, obwohl der Grenzwert überschritten wird). Die Probe irrt sich bei Radrennfahrern, die nicht zu
den Dopingsündern zählen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % (d. h. sie ist positiv, obwohl
der Grenzwert nicht überschritten wird). Zunächst wird ein Radrennfahrer einmal kontrolliert
(A-Probe).
a) Füllen Sie die folgende Tabelle mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten aus:
X 1
X0
(Dopingsünder)
(kein Dopingsünder)
Y  1 (positives Ergebnis)
P(Y  1 | X  1) 
P(Y  1 | X  0) 
Y  0 (negatives Ergebnis)
P(Y  0 | X  1) 
P(Y  0 | X  0) 
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Dopingsünder handelt, falls
die Dopingprobe positiv ist?
d) Falls die A-Probe positiv ausfällt, wird eine zweite Dopingprobe durchgeführt (B-Probe).
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Dopingsünder handelt, falls
beide Dopingproben (A- und B-Probe) positiv sind?
Aufgabe 60
Eine Krankenversicherung ermittelte, dass bei Verkehrsunfällen von PKW-Fahrern, die angegurtet waren, nur 8% der Fahrer Kopfverletzungen aufwiesen. Bei nichtangegurteten Fahrern
erlitten bei einem Unfall 62% keine Kopfverletzungen. Trotz Anschnallpflicht legen immer
noch 15% aller Autofahrer keinen Gurt an.
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Unfall eine Kopfverletzung
vorliegt.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach einem Unfall mit Kopfverletzungen
eingelieferter Autofahrer keinen Gurt angelegt hatte?
Aufgabe 61
Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie:
P( X  2,38)
P( X  0,74)
P( X  1,33)
P( X  0, 23)
P(0,55  X  5)
das untere Quartil.