Lösungen Grundaufgaben Stochastik

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Grundkurs Stochastik
30.03.2007
Lösungen Grundaufgaben 1
Lösungen Grundaufgaben Stochastik
1. Bei einer Produktionskontrolle werden in drei Prüfungsgängen Länge, Breite und Höhe eines Metallstücks geprüft. Diese sind mit den Wahrscheinlichkeiten 0.2, 0.1 und 0.15 ausserhalb der vorgegebenen Toleranzgrenzen. Ein Metallstück wird nicht ausgeliefert, wenn mindestens zwei der Kontrollen
negativ ausgehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein kontrolliertes Werkstück Ausschussware ?
• P steht für Positiv, N für negativ.
b
0.2
0.8
N
P
0.1
0.9
0.9
0.1
P
N
P
N
0.85 0.15
0.85 0.15
0.85 0.15
0.85 0.15
P
N
P
N
P
N
P
N
• In der Tabelle sind die Fälle mit 2 und 3 neg. Kontrollen aufgeführt:
Kont.
Wahr.
PNN
0.8 · 0.1 · 0.15
NPN
0.2 · 0.9 · 0.15
NNP
0.2 · 0.1 · 0.85
NNN
0.2 · 0.1 · 0.15
• Die Summe ergibt: P(Teststück ist Ausschussware) = 0.012 + 0.027 + 0.017 + 0.003 = 0.059
2. Gegeben sind die Ziffern von 0 bis 9. Mit diesen Ziffern sollen 5-stellige Zahlen gebildet werden,
wobei die erste Ziffer keine 0 sein darf.
a) Wieviele der Zahlen beginnen mit einer 3 und enden mit einer 5 ?
• A = 1 · 10 · 10 · 10 · 1 = 1000
b) Wieviele der Zahlen enthalten nicht die Ziffer 2 ?
• A = 8 · 9 · 9 · 9 · 9 = 52488
c) Wieviele Zahlen mit verschiedenen Ziffern können gebildet werden ?
• A = 9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27216
3. Berechne die folgenden Ausdrücke ohne Taschenrechner
a) 82 = 28
b) 54 = 5
4. Gegeben sind die Ziffern von 0 bis 9. Mit diesen Ziffern sollen 5-stellige Zahlen gebildet werden,
wobei die erste Ziffer eine 0 sein darf. Wieviele Zahlen mit genau 2 mal der Ziffer 3 können gebildet
werden ?
• A = 52 · 1 · 1 · 10 · 10 · 10 = 10000
5. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 6 aus 49 die Gewinnkombination anzukreuzen,
wenn ein Tipp abgeben wird ?
• Anzahl günstige Fälle: 1, Anzahl mögliche Fälle: 49
6
• P(richtige Kombinationen) = 1/ 49
6
6. Berechne den Erwartungswert der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X
P(X)
1
0.2
2
0.3
3
0.1
4
0.1
5
0.3
E(X) = 1 · 0.2 + 2 · 0.3 + 3 · 0.1 + 4 · 0.1 + 5 · 0.3 = 3
Grundkurs Stochastik
30.03.2007
Lösungen Grundaufgaben 2
7. Eine Münze wird 10 mal nacheinander geworfen (P(Kopf) = 0.4, P(Zahl) = 0.6). Dabei bezeichne
die Zufallsvariable X1 die Anzahl Kopf und die Zufallsvariable X2 die Anzahl Zahl. Berechne ohne
Hilfe der Tabelle:
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt genau 3 Mal Kopf auf ?
3
7
• P(X1 = 3) = 10
3 (0.4) (0.6) = 0.21
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt genau 6 Mal Zahl auf ?
6
4
• P(X2 = 6) = 10
6 (0.6) (0.4) = 0.25
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt mindestens 9 Mal Kopf auf ?
9
1
10
0
10
• P(X1 ≥ 9) = P(X1 = 9) + P(X1 = 10) = 10
9 (0.4) (0.6) + 10 (0.4) (0.6) = 0.0016 +
0.0001 = 0.002
8. Eine Münze wird 10 mal nacheinander geworfen (P(Kopf) = 0.4, P(Zahl) = 0.6). Dabei bezeichne
die Zufallsvariable X1 die Anzahl Kopf und die Zufallsvariable X2 die Anzahl Zahl. Berechne mit
Hilfe der Tabelle:
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt höchstens 7 Mal Kopf auf ?
• P(X1 ≤ 7) = 0.988
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt genau 3 Mal Kopf auf ?
• P(X1 = 3) = P(X1 ≤ 3) + P(X1 ≤ 2) = 0.382 − 0.167 = 0.215
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt mindestens 8 Mal Kopf auf ?
• P(X1 ≥ 8) = 1 − P(X1 ≤ 7) = 1 − 0.988 = 0.012
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt mindestens 3 Mal Zahl auf ?
• P(X2 ≥ 3) = P(X1 ≤ 7) = 0.988
9. Wir betrachten den Zufallsversuch: zwei ideale Würfel (1-6) werden geworfen.
a) Gib ein mögliches Ergebnis zu diesem Zufallsversuch an.
• 1.Würfel: 2, 2.Würfel: 2.
b) Gib ein Ereignis zu diesem Zufallsversuch an.
• 1.Würfel 1, 2.Würfel beliebig.
c) A=„zwei gleiche Zahlen“und B=„zwei gerade Zahlen“seien Ereignisse. Prüfe die folgenden Formel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• mögliche Fälle: 36.
• A hat 6 Fälle, B hat 9 Fälle, A ∪ B hat 12 Fälle, A ∩ B hat 3 Fälle.
12
6
9
3
•
= + − . stimmt.
36 36 36 36
d) A=„„. Prüfe folgende Formel (A sei das Komplement von A): P(A) = 1 − P(A)
• A hat 6 Fälle, A hat 30 Fälle.
6
30
•
= 1 − . stimmt.
36
36
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