Übungen zur Vorlesung “Einführung in die Stochastik”

Prof. Dr. Achim Klenke
Carina Brugger, M.Sc.
Übungen zur Vorlesung
“Einführung in die Stochastik”
Wintersemester 2014/2015, Blatt 2
http://www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/stochastik/
Brugger/einfuehrung-in-die-stochastik
Abgabe bis Montag, den 10.11.2014, 10:00 Uhr
Aufgabe 1
(4 Punkte)
Wie wahrscheinlich ist es, dass sich folgende, zufällig auf einem Schachbrett (8x8 Felder) platzierten Figuren schlagen können? Beachten Sie, dass die beiden Figuren nicht auf dem gleichen Feld stehen können,
alle anderen Konfigurationen aber mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten.
(i) zwei Türme
(ii) zwei Läufer
(iii) zwei Damen
Geben Sie hierzu einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, formulieren Sie passende Ereignisse A1 ,
A2 , A3 und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten.
Bemerkung: Ein Turm kann alle Figuren schlagen, die in der gleichen Reihe oder Spalte stehen. Ein Läufer
schlägt diagonal in beliebiger Entfernung und die Dame darf in jeder Reihe, Spalte und Diagonale beliebig
ziehen.
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Wir betrachten einen verfälschten, ansonsten aber handelsüblichen sechsseitigen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, damit eine bestimmte Zahl zu würfeln, sei proportional zu dieser Zahl (z.B. soll die 6 die dreifache
Wahrscheinlichkeit der 2 haben).
(i) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für das Experiment „Der verfälschte Würfel
wird dreimal geworfen“an.
(ii) Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Würfen nur gerade Zahlen zu würfeln?
(iii) Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Würfen eine Augensumme von 16 zu erhalten?
Aufgabe 3
Mit B(R) bezeichnen wir die Borelsche σ -Algebra auf R. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(4 Punkte)
(i) Die Menge {[a,b] : a,b ∈ Q, a ≤ b} der abgeschlossenen Intervalle mit rationalen Eckpunkten
erzeugt B(R).
(ii) Die Menge der kompakten Mengen in R erzeugt B(R).
(iii) Die Menge A := {{x } : x ∈ R} aller Einpunktmengen in R erzeugt nicht B(R). Wie sieht σ (A) aus?
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Ω
Auf Ω := {a,b,c,d } betrachten wir die beiden Mengensysteme A := 2 und B := {{a,b}, {c,d}, {a,c}, {b,d}}.
(i) Zeigen Sie, dass A = σ (B) gilt.
(ii) Geben Sie zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P1 und P2 auf A an mit P1 , P2 , die auf B übereinstimmen.
(iii) Warum ist dies kein Widerspruch zum Eindeutigkeitssatz 1.24 aus der Vorlesung?