Blatt14 - Universität Ulm

Universität Ulm
Abteilung Stochastik
A. Frey
J. Wiedmann
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 14
03.02.1998
Abgabe: 10.02.98
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Aufgabe 1:
Das Gewicht einer Jodtablette beträgt im Mittel 500mg bei einer Standardabweichung von 50mg.
Geben Sie mit Hilfe des Zentralen GWS einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit an, daß
eine Packung mit 100 Tabletten zwischen 49g und 51g (Netto) wiegt.
(4)
Aufgabe 2:
Die tatsächlich benötigte CPU-Zeit einer Benutzersitzung an einer Workstation werde (aufgrund
einer Langzeitstudie) als eine ZV mit unbekanntem Erwartungswert  und der Varianz ²=4.84
(sec²) angenommen. Wie viele unabhängige Messungen der CPU-Zeiten sollen mindestens
durchgeführt werden, so daß mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% der Betrag der
Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel der Meßwerte und  kleiner als 0.1 (0.4) ist?
Verwenden Sie zur Beantwortung der Frage
i)
den Zentralen Grenzwertsatz
ii)
die Ungleichung von Tschebyscheff
Nun sei zusätzlich bekannt, daß diese CPU-Zeit hinreichend gut als exponentialverteilte
Zufalls-variable beschrieben werden kann.
iii)
Man bestimme den zugehörigen Parameter der Exponentialverteilung
G bezeichne die Wahrscheinlichkeit, daß die Summe von 100 unabhängigen vorgenommenen
Messungen der jeweils benötigten CPU-Zeit zwischen 200 und 300 Sekunden liegt.
iv)
Man gebe mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine untere Schranke für G an
v)
Man bestimme eine Näherung von G durch Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes
vi)
Man ermittle G exakt (Hinweis: hierzu zeige man mittels Induktion, daß die Summe von
n -exponentialverteilten Zufallsvariablen Erlang-verteilt ist mit dem Parameter  und
der Stufenzahl n, d.h.
 n 1 (  t ) i t
n
e
für t  0
1 
mit der zugehörigen Dichtefunktion
P(  X i  t )   
i!
i 0
i 1
0
sonst

n 1
 n t
 e t
für t  0
 
f n (t )  
.
( n  1)!
0
sonst

(16)
Hinweis zur Klausur:
Klausurbeginn: 17.00 Uhr c.t., geplante Dauer: 2 Std.
Hörsaaleinteilung nach Anfangsbuchstaben des Nachnames: A – K : H3
Hilfsmittel: Taschenrechner, Vorlesungszusammenfassung wird ausgeteilt
Studentenausweis nicht vergessen !
L – Z : H20