Blatt9 - Universität Ulm

Universität Ulm
Abteilung Stochastik
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 9
16.12.1997
A. Frey
J. Wiedmann
Abgabe: 08.01.98
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Aufgabe 1:
Sei die Zufallsgröße X normalverteilt mit den Parametern 12 und 3 (X ~ N(12,3)). Berechnen Sie
folgende Wahrscheinlichkeiten :
i P(9 < X  14)
ii) P(|X-12|  1)
(4)
Aufgabe 2:

Für z > 0 ist die Gamma - Funktion definiert als ( z )   t z 1e  t dt .
0
i) Man zeige, daß  ( z  1)  z   ( z ) und (1)  1
(Die Gamma-Funktion kann also wegen (n  1)  n ! , n N, als Verallgemeinerung der
Fakultät betrachtet werden)
ii) (Dichte der Gammaverteilung) Seien nun , s > 0 beliebig gewählt. Man zeige, daß durch
 s x s 1e  x
x0

f ( x ;  , s)    ( s)
eine Dichtefunktion gegeben ist.
0
sonst
(8)

Aufgabe 3 3:
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerhaften Teils in einer Produktion sei p =
0.003.
Wie groß ist die (approximative) Wahrscheinlichkeit dafür, daß
i) unter 10000 Teilen 30 fehlerhafte
ii) in einer Kiste von 10000 Teilen nicht mehr als 50 fehlerhafte
enthalten sind ?
(Hinweis: Benutzen Sie bei der Berechnung evtl. eine geeignete Näherungslösung)
(6)
P
1
Aufgabe

Im nebenstehenden Rechensystem werden ankommende Jobs mit der
1
Wahrscheinlichkeit i >0 dem Prozessor Pi zur Bearbeitung zugeteilt, wobei
P
2
die Bearbeitungszeiten auf den einzelnen Prozessoren i - exponential- verteilt

2
n
sind (i = 1,..,n). Offensichtlich gilt also i 1 .
i 1
i) Bestimmen Sie die Verteilung der Bearbeitungszeit T des ersten
ankommenden Jobs (d.h. wenn noch kein Prozessor belegt ist.
ii) Nun sei speziell n = 2. Wie ist T verteilt für 2  (wenn also
ProzessorP2 die Jobs nahezu ohne Zeitverlust bearbeitet?

3

P
3
.
.
.
4
Pn
(6)
Aufgabe
Sei X U[0,1]. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von g(X)= -logX.
Die Abteilung Stochastik wünscht Ihnen allen ein
frohes Weihnachtsfest und alles Gute für 1998 !
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