Humboldt-Universität zu Berlin Bereich Stochastik und

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 2
SS 2010
Prof. Dr. Dirk Becherer
Prof. Dr. Thorsten Dickhaus, Michael Stauch,
Joscha Diehl, Nicolas Perkowski
Übungen zur Stochastik 1
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Eine faire Münze wird maximal N -mal geworfen. Wir setzen zu Beginn des Spiels den Betrag c auf
Kopf“, dann verdoppeln wir sukzessive den Einsatz, bis erstmals Kopf“ kommt. In diesem Falle
”
”
erhalten wir den doppelten Einsatz zurück und beenden sofort das Spiel. Spätenstens nach dem N -ten
Wurf bricht das Spiel ab. Definieren Sie einen geeigneten Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum als Modell
für das Spiel. Definieren Sie eine Funktion G : Ω → R, sodass G(ω), für einen Ausgang ω ∈ Ω den
Nettogewinn nach N Würfen beschreibt, d.h. die Differenz zwischen Gewinn
P und Einsatz. Welche
Werte nimmt G mit welcher Wahrscheinlichkeit an? Berechnen Sie E[G] := ω∈Ω G(ω)P(ω), d.h. den
Wert, den G im Mittel annimmt.
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Sei F eine σ-Algebra über Ω und seien A, B, (An )n∈N beliebige Ereignisse aus F.
a) Zeigen Sie, dass für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf F gilt:
(i) (Monotonie) A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B),
(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
(iii) (σ-Subadditivität) P(
S
n≥1 An )
≤
P
n≥1 P(An ),
S
(iv) (σ-Stetigkeit) Falls An ↑TA (d.h. A1 ⊂ A2 ⊂ . . . und A = ∞
n=1 An ) oder An ↓ A (d.h.
∞
A1 ⊃ A2 ⊃ . . . und A = n=1 An ) dann gilt: P(An ) → P(A) für n → ∞.
b) Zeigen Sie außerdem, dass jede normierte, additive Mengenfunktion µ : F → [0, 1] (d.h. µ(Ω) =
1, µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) für disjunkte A, B), die σ-stetig ist, auch ein Wahrscheinlichkeitsmaß
ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei Ai (i ∈ I) eine endliche Kollektion von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P).
Für I = {1, . . . , n} gilt die Siebformel/ Einschluss-Ausschlussformel:
[
X
\
(−1)|J|+1 P( Ai )
P( Ai ) =
i∈I
=
∅6=J⊆I
i∈J
n
X
(−1)k+1
X
k=1
P(
1≤i1 <i2 <···<ik ≤n
k
\
Aij ).
j=1
Aufgabe 4 (7 Punkte)
Es sollen n verschiedene Kugeln zufällig auf k Urnen verteilt werden. Wir beschreiben dieses Zufallsexperiment durch die Gleichverteilung Pk,n auf der Menge Ωk,n := {ω = (ω1 , . . . , ωn ) : ωi ∈ {1, . . . , k}},
wobei ωi die Urnennummer der i-ten Kugel ist. Wir definieren die Menge
Ω0k,n
:= {(n1 , . . . , nk ) : ni ≥ 0,
k
X
i=1
ni = n},
wobei ni die Anzahl der Kugeln in der i-ten Urne ist, sowie die Abbildung
X : Ωk,n → Ω0k,n ,
X(ω) = (X1 (ω), . . . , Xk (ω)),
wobei Xj (ω1 , . . . , ωn ) := |{i ∈ {1, . . . , n} : ωi = j}| für j = 1, . . . , k. Zeigen Sie:
a) |{X = (n1 , . . . , nk )}| =
n!
n1 !···nk !
für (n1 , . . . , nk ) ∈ Ω0k,n .
b) X(Ωk,n ) = Ω0k,n und |{X ∈ Ω0k,n }| = k n .
c) |Ω0k,n | =
n+k−1
n
.
d) Man berechne für n ≥ k die Wahrscheinlichkeit Pk,n (X1 ≥ 1, . . . , Xk ≥ 1).
e) Berechnen Sie für festes k und n die Wahrscheinlichkeit Pk,n (X1 = r), für r ∈ N0 . Zeigen Sie,
falls nk → λ > 0 für k, n → ∞, dann gilt der folgende Grenzwert:
Pk,n (X1 = r) →
λr −λ
e .
r!
Aufgabe 5 (Zusatz: 3 Punkte)
Sie sind in einem Casino am Roulettetisch mit 37 Feldern (0, . . . , 36). Das Casino deckelt die Einsätze
bei 40960e. Sie setzen 10e auf gerade Zahl“, dabei wird die Null nicht als gerade aufgefasst. Wenn
”
Sie verlieren, verdoppeln Sie sukzessive den Einsatz und setzen weiter auf gerade Zahl“. Landet die
”
Kugel auf einer geraden Zahl, so erhalten Sie den doppelten Einsatz zurück und beenden das Spiel.
Wieviele Spiele können Sie mit einer solchen Strategie in jedem Fall spielen? Modellieren Sie einen
geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem (Netto-)Gewinn
(wieviel?) nach Haus zu gehen? Sei G der Nettogewinn. Berechnen Sie den mittleren Gewinn E[G]
(vgl. Aufgabe 1) und interpretieren Sie das Ergebnis in Hinblick auf die Gewinnwahrscheinlichkeit.
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Aufgabe 1.
Abgabe: Dienstag, 04.05.2010
(Bitte jeder einzeln abgeben und Übungsgruppe mit angeben.)