`  `2i  `

Tutorium zur VO aus Statistik'
Tutorium zur VO aus Statistik
Beispielsammlung
Beispielsammlung
Nowak
1 Grundlagen
Tutorium zur VO aus Statistik
Beispielsammlung
Beispiel
1
k
Beispielsammlung
Nowak
Tutorium
zurLösen
Statistik
Beispielsammlung
Nowak
Sie
die folgenden
Gleichungen nach b auf:
Beispiel
1VO aus
1
Grundlagen
us Statistik
Beispielsammlung
Nowak
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach b auf:
1 Grundlagen
(a b)
1 Grundlagen
2=
en
b
Beispiel
1
(a b)2
2
b ab = 0
2=
2 = a · b (1
Lösen Sie die folgenden Gleichungen
nach b auf:
b
Nowa
b)
Beispiel
1 2b auf:
chungen
nach
Beispiel
(a b)
(a b)2
2
Lösen
Sie die
folgenden
Gleichungen
nach b2 =
auf:
b ab = 0
2=
2 = a · b (1 b)
Beispiel
Bestimmen
Sie x 2 (a
b)2
b
b
2
nden
Gleichungen
nach
b
auf:
2
b ab = 0 Bestimmen
ln(x
sin(xb)
+ 1) = 0
(x -22)=2)=2a=
0· b0(1 b)(a
(a2 =b) Sieb x:2 lnBeispiel
2
2
=
b
ab
=
0
2
=
2 = a · b (1 b)
b) Beispiel
(a b)
3 ab =b 0
b2Beispiel
2 = Bestimmen Sie2x= a · b b(1 b)
3
bBeispiel
Sei A2 = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4,b5, 6}. Bilden Sie daraus {A
\ B},2){A
ln(x
= [0 B} sin(x + 1) = 0
Sei A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6}. Bilden Sie daraus {A ∩ B} und {A ∪ B}.
Bestimmen
ln(xBeispiel
2) = Sie
04 x sin(x + 1) = 0Beispiel 3
ln(xdie2)
= 0 die Punkte
sin(x +
0 2) und P2 = (4, 8) geht.
– Bestimmen
Sie die
P11)
==
(1,{3,
Beispiel
4 Gerade
Sei durch
A = {1,
2, 3, 4} und
B
=
4, 5, 6}. Bilden Sie daraus {A \ B}, {A [ B}
ln(x
2)
=
0
sin(x
+
1)
=
0
–
Bestimmen
Sie
die
Gerade
die
durch
den
Punkt
Q
=
(2,
2)
geht
und die und
Steigung
3 hat.
Beispiel
a) Bestimmen
P₂(4|8)
geht.
{3,
{A \die
{A [4B} die durch die Punkte P₁(1|2)
4, 5, 6}.3 Bilden
Sie darausSie
B},Gerade,
Beispiel
Liegt
der
Punkt
P
unter
oder
oberhalb
jener
Geraden
die
durch
den
Punkt
Q
geht
und
einen
2
{1, 2,
{3,
{A
{A
Sei A– =
3,
4}
und
B
=
4,
5,
6}.
Bilden
Sie
daraus
\
B},
[
B}
b) Bestimmen Sie die
Gerade, die
den Punkt
Q(2|2)
geht und
die
– Bestimmen
Siedurch
die Gerade
die durch
die Punkte
P1 =
(1,Steigung
2) und P2 3=hat.
(4, 8) geht.
Achsenabstand
hat?daraus
{A \ B}, {A [ B}
und B
= {3, 4, 5, 6}. von
Bilden1Sie
c)
Liegt
der
Punkt
P₂
unteroder
oberhalb
jener
Gerade,
die
durch
den
Punkt
Q
geht
und
Beispiel
4
– Bestimmen
die Gerade die durch den Punkt Q = (2, 2) geht und die Steigung
3 hat.
die durch die Punkte P1 = (1, 2) und
P2 = (4, 8) Sie
geht.
Beispiel
5
– Bestimmen
dieQGerade
diegeht
durch
Punkte
P1P2=
(1,
undoberhalb
P2 = (4, 8)
geht.
– Liegt
der
Punkt
jener
Geraden die durch den Punkt Q geht und eine
die
durch den Sie
Punkt
= (2, 2)
unddie
die
Steigung
3unter
hat.2)oder
einen
Achsenabstand
von
-1
hat?
Im Jahr
2007
kostete
Benzin
EUR
0.857.
Vom
aufund
2008
dann3 die
ie
die
durch
die
Punkte
P1durch
=
(1,den
2)
und
P
=
(4,
8)
geht.
– Gerade
Bestimmen
SieGeraden
die
Gerade
die
Punkt
Q Jahr
=und
(2,
2)
geht
diebetrug
Steigung
hat.Preissteier
oberhalb
jener
die
durch
den
Punkt
Q2 geht
einen
Achsenabstand
von
12007
hat?
gerung
1.1%,
vom
Jahr
2008
auf
2009
2%
und
von
2009
auf
2010
0.7%.
Um
wieeinen
viel war
Beispiel
5 Punkt
ie– Liegt
Gerade
durchP2den
= (2, 2) jener
geht und
die Steigung
hat. Punkt Q geht und
derdie
Punkt
unter
oderQoberhalb
Geraden
die durch3 den
Beispiel
5
Benzin
2007
billiger
als
2010?
unter
oder Im
oberhalb
jener
Geraden
dieBenzin
durch den
Punkt QVom
geht und
von
12007
hat?
2Achsenabstand
Jahr
kostete
Jahreinen
2007Vom
auf Jahr
das2007
Jahrauf2008
die die Preisste
Im Jahr
2007 0,857€.
kostete Benzin
EUR
0.857.
2008 betrug
betrug dann
1 hat?
6 Jahr 2007 auf
1,1%,
von
2008
auf
2009
2% und
auf von
2010
0,7%.
Beispiel
5 Preissteigerung
EURBeispiel
0.857.
Vom
2008
betrug
dann
die
Preissteigerung
1.1%,
vom
Jahr
2008
auf von
20092009
2% und
2009
auf 2010 0.7%. Um wie viel w
Bilden
Sie
die
Komplementärmengen
bezüglich
R
Um
wie
viel
war
Benzin
2007
billiger
als
2010?
Im
Jahr
2007
kostete
Benzin
EUR
0.857.
Vom
Jahr
2007
auf
2008
betrug
dann
die
Preisstei8 auf 2009 2% und von 2009 auf Benzin
2010 0.7%.
wie als
viel2010?
war
2007 Um
billiger
n p
o
te
Benzin
EUR
0.857.
Vom
Jahr
2007
auf
2008
betrug
dann
die
Preissteigerung
1.1%,
vom
Jahr
2008
auf
2009
2%
und
von
2009
auf
2010
0.7%. CUm
wie
viel
war
0?
A =]Beispiel
•, 1.6449]
[
[1.6449,
•[
B
=]
1.6449,
1.6449]
=
1,
2,
p,
17
Beispiel 6
6 2010?
Jahr 2008
aufbilliger
2009 2%
und von 2009 auf 2010 0.7%. Um wie viel war
Benzin
2007
als
Bilden Sie die Komplementärmengen bezüglich R
7
erBeispiel
als Beispiel
2010?
Bilden
Sie
die
Komplementärmengen
bezüglich ℝ:
n p
o
6
rmengen bezüglich
R
Berechnen
Sie
folgende
Summen
und
Produkte:
A
=]
•,
1.6449]
[
[1.6449,
•[
B
=]
1.6449,
1.6449]
C
=
1,
2,
p,
17
n
o
A=]-∞
;
-1,6449]
∪
[1,6449
;
∞[
Bilden Sie die Komplementärmengen bezüglich Rp
4
3
7
449,
•[
B =] bezüglich
1.6449, 1.6449]
n p
o
i
mplementärmengen
R Beispiel2C7= 1, 2, p, 17
B=]-1,6449
; 1,6449]
i
x
k n1.6449]
A =] •, 1.6449] [ [1.6449, •[ Â B =] ’
1.6449,
C
=
1,
2,
p,
17
Â
o
p 3 und Produkte:
C={1;
17} 1.6449,
Berechnen
folgende
Summen
i=3
i=1
49] [ [1.6449,
•[ √2; Bπ;=]
1.6449]Sie k=5
C = 1,
2, p, 17
men
und
Produkte:
Beispiel 7
5
3
5
9
4
3
7
k
k
x
2
1
i
22
i
Beispiel
7
Berechnen
Sie
folgende
Summen
und
Produkte:
2i
(i
3)
·
(2i
2)
4
3
i
x
7
k
Â
Â
’
’
Â
Â
’
i
k! Summen
2k
3
k=0
i=3
i=1 3
k=5
i2
Berechnen
endeÂSummen
und
k i=3Sie
4
3 i=1
7k=5 und Produkte:
 folgende
’ xProdukte:
i
3
2
i=3
i=1
Beispiel 84k=5
9
7
 i 3 i ’ xk 5  3 5 xk
2k
1 3
2
i=3
i=1
k=5
5
3
9ÂSie
k
k
2i
(i 3)2 · (2i 2)i
Berechnen
folgende
Doppelsumme
für
a
=
i
j
i
j
:
i
x
Â
Â
’
’
i
j
Â
x
2
1’ k
2
3 i=1
3 9 2)ik
· (2i
k=5 2k
k=0 k!
 k!
’i=32k 5 3k=5Â (i5 x3)
k i=1
' 2 3 2i=31 3
2
i
i=1
k=5
k=0
(i 3) · (2i 2)
5 k ’ 2i 9
 k!Beispiel
’8 2k2Â Â a3i jÂ
x i=3
2k k=0
1 3 k=5
i
i=1
Beispiel
8
2i
(i
3)
·
(2i
2)
i=1folgende
j=1
Berechnen
Sie
Doppelsumme für ai j = i j i j :
 k!
Â
’
’ 2k
3 i=1
pelsumme
für
a
=
i
j
j
:
3Beispiel 8
k=5i Sie
k=0
i
j
Berechnen
folgende
Doppelsumme
für
aij = ij - i - j:
Beispiel 9
3 2
Berechnen
Sie
folgende
Doppelsumme
für
a
=
i
j
i
j
:
3 2 Sie folgende Ausdrücke: i j
Vereinfachen
  ai j
a
i=1
j=1
ende Doppelsumme
für
a
=
i
j
i
j
:
 Â✓ i j◆ 1 i j✓ ◆ 13 ✓ ◆ 133 2
⇣p ⌘ 3
1
i=1 j=1 1 3
2
1 Â Â ai j p
3
3
2
Beispiel
9 =?
7 3 · 22
· 3
a2 : a 6 =?
x2 =?
2 Â Â a3i j Vereinfachen
5 i=1 j=1Sie folgende Ausdrücke:
usdrücke:
Beispiel 9 Beispiel 9i=1 j=1
✓ ◆1 ✓ ◆1 ✓ ◆1
⇣p ⌘ 3
p
1
2 3
1 3
1 3
3
3
2
✓ ◆ 1 Vereinfachen
Sie
folgende
Ausdrücke:
Vereinfachen
Sie
folgende
Ausdrücke:
2 : a 6 =?
37
⇣
⌘
p
p
·
2
·
3
=?
a
x2 =?
3
1
1
3
3
2
2
3
5⇣
✓ ◆1
· 3 Ausdrücke:
=?✓ ◆ 13 a✓2 : a◆613 =?
x2 =?
olgende
⌘3
p
p
1
2
1 3
1
5
31
3
2
2
2
6
1 ✓
◆1 ✓ 7 ◆1 · 2
· 3
=?
ap : a⌘ 3 =?
x
=?
⇣
p
3
3
3
3 3 25 1
2
12
3
2
2
· 2
· 3
=?
a : a 6 =?
x
=?
3
5
1
1
1
1
1
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
2 Deskriptive Statistik
Beispiel 10
Die Zusammensetzung des Haushaltsstroms gibt e-control für die Energie Graz
folgendermaßen an:
• Erneuerbare Energie: 25,04%
• Fossile Energie: 48,78%
• Nukleare Energie: 26,18%
a) Berechnen Sie die einzelnen Winkel und erstellen Sie das dazugehörige
Kreisdiagramm.
b) Der Winkel im Kreisdiagramm für erneuerbare Energie beträgt 32° und der jährliche
Stromverbrauch eines Haushalts sei 3.500 kWh. Wie viele kWh beträgt der Anteil der
erneuerbaren Energie am Stromverbrauch?
Beispiel 11
Um welchen Skalentyp handelt es sich bei folgenden Merkmalen:
• Körpergröße
• Grad Celsius
• Mann = 0, Frau = 1
• Fußball: Platz in der Tabellenliste
• Kleidergröße M
• IQ-Wert
• Monatseinkommen
zur VO aus Statistik
Beispielsammlung
2
ren Sie folgenden Box-Whisker-Plot:
Beispiel 12
Interpretieren Sie folgenden Box-Whisker-Plot:
2
N
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
Beispiel 13
Beispiel 13
Gegeben ist folgende Datenreihe:
9 4 7 9 8 10 11 9 4 7
9!
4!
7!
9!
8!
10!
11!
9!
4!
7
Bestimmen
Modalwert,
Median,arithmetisches
Arithmetisches Mittel,
Bestimmen
Sie Sie
Modalwert,
Median,
Mittel, Geometrisches
harmonischesMittel,
Mittel,Harmonigeosches Mittel,
Standardabweichung, Variationskoeffizient
und
denSymmetrieparameter
Symmetrieparameter g .
metrisches
Mittel, Standardabweichung,
Variationskoeffizient
und
Beispiel
Beispiel
14 14
Die Punkte
sind folgendermaßen
verteilt:
In Graz
wurde bei
aneiner
50 Klausur
aufeinanderfolgenden
Tagen
die Feinstaubbelastung (PM10)
gemessen. Die Häufigkeit der Messwerte war folgende:
Punkte
Note Anzahl
Belastung
[0;10]
]10;25]
]25;40]
]40;50]
]50;70] ]70;100] ]100;150]
[0, 50]
5
40
[51,
4
2010
Häufigkeit
2
5
8 60]
15
7
3
[61, 70]
3
20
a) Bestimmen Sie den genäherten Mittelwert
[71, 80] der Feinstaubbelastung.
2
10
[81, 100]
1
10
b) Bestimmen Sie die Varianz der Feinstaubbelastung.
c) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die Quartile und den
Bestimmen
sie grafisch die Quartile aus der Verteilungsfunktion und errechnen sie Q2 sowie
Median
in der Grafik.
den genäherten Mittelwert
d) Bestimmen Sie den Median auch rechnerisch.
e) Zeichnen Sie ein Histogramm.
f) Nach Einführung der IG-L 100 Beschränkung auf der Autobahn wurden erneut an 30
Tagen Messungen durchgeführt. Diese ergaben einen Mittelwert von 48,2.
Führte das neue Gesetz dazu, dass im Schnitt (alle Messungen) der EU-Grenzwert von
50 nicht überschritten wurde?
3
Beispiel 15
Von sechs zufällig gewählten Personen wurden die Körpergröße und das Gewicht
ermittelt:
Körpergröße
183
172
177
168
191
186
Gewicht
71
53
60
52
85
80
a) Besteht ein Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht?
b) Bestimmen Sie zu den Daten die Regressionsgerade.
c) Welches Gewicht würden Sie für eine 177cm große Person erwarten?
Beispiel 16
Wie hoch ist die Korrelation zwischen Tutoriumsbesuch und Klausurnote?
Zahl der Tutoriumsbesuche
6
3
13
9
5
2
12
Klausurnote
2
5
1
4
5
5
3
3
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
Beispiel 17
Bestimmen Sie ein Maß für den Zusammenhang zwischen Alter und Religiosität anhand
folgender Tabelle:
Religiös
Nicht religiös
Alter ≥ 30
55
45
Alter ≤ 30
25
35
Beispiel 18
Ein Läufer benötigt für seine allmorgendliche Laufrunde folgende Zeiten:
Tag
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Minuten
27,3
26,1
28,9
27,5
26,5
26,1
25,3
26,4
24,9
24,3
a) Bestimmen Sie dazu die lineare Trendfunktion.
b) Welche Zeit würden Sie prognostizieren, wenn der Läufer die Runde zum 13. Mal läuft?
3 Preisindizes
Beispiel 19
Jahr
1996
1999
2000
2001
2005
Index
102
103
105,2
104
121.7
a) Um wie viel Prozent stiegen die Preise zwischen 1986 und 2005?
b) Wie hoch war das jährliche Preiswachstum im Durchschnitt?
c) Ein Statistiklehrbuch kostete 1999 34€. Wie viel kostet es im Jahr 2000?
Beispiel 20
Angenommen es stehen Ihnen folgende Informationen über das Konsumverhalten einer
Wirtschaft zur Verfügung:
Bezeichnung
Menge qi
in 2008
Preis pi je
EH
in 2008
Menge qi
in 2009
Preis pi je
EH
in 2009
Tomaten (kg)
260
3,00
250
3,00
Erdöl (Barrel)
4100
75,00
5000
90,00
Computer-Prozessoren (Stk.)
5
113,00
6
105,00
Kartoffeln (kg)
10
1,20
10
1,10
Statistik-Bücher (Stk.)
2
75,00
3
90,00
a) Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres und Paasche.
b) Wie groß dürfte der Preis vom Gut Erdöl im Jahr 2009 maximal sein, wenn einen
Inflationsrate von 3% (Laspeyres) angestrebt wird?
4
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
c) Um wie viel war der Warenkorb aus diesen fünf Gütern im Jahr 2008 billiger als im Jahr
2009?
Beispiel 21
p1
q1
p2
q2
p3
q3
p4
q4
2009
6
100
10
30
100
5
20
50
2010
7
100
15
40
100
4
25
20
a) Berechnen Sie den Umsatzindex.
b) Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres und Paasche.
c) Fassen Sie die Güter 1 und 2 bzw. die Güter 3 und 4 zu Produktgruppen zusammen
und berechnen Sie aus den Subpreisindizes (nach Laspeyres) den Gesamtpreisindex.
Beispiel 22
Ein Student bekommt im Jahr 2009 monatlich 800€ von seinen Eltern. Seine monatlichen
Ausgaben lassen sich wie folgt aufschlüsseln:
• Wohnen 40%
• Essen 30%
• Konzerte 5%
• Fortgehen 10%
• Uni 15%
Im Jahr 2010 stiegen die Ausgaben für Wohnen um 5%, Fortgehen wurde um 10% teurer
und für die Uni musste er um 3% mehr ausgeben.
a) Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres.
b) Wie viel mehr Geld benötigte der Student im Jahr 2010?
c) Um wie viel Prozent war das Jahr 2009 für den Studenten billiger als das Jahr 2010?
d) Angenommen dieser Warenkorb wird im Schnitt jedes Jahr um 3% teurer. Wie viel
teurer wäre er dann 2010 als 1980?
Beispiel 23
1966
1968
1976
1979
1986
1990
1992
1994
1996
2000
2001
2009
100
108,2 126,8 111,3 138,7 119,8 124,1 134,7 141,1 121,8 123,4 126,5
a) Wann wird es vermutlich zu einer Umbasierung gekommen sein?
b) Wie groß war die Preissteigerung von 1966 auf 2009?
c) Wie groß war die durchschnittliche jährliche Preissteigerung?
d) Wie viel müsste Bier im Jahr 2009 kosten, wenn ein halber Liter im Jahr 1979 noch ATS
28,- kostete? (1 Euro ≙ 13,7603 ATS)
5
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
4 Wahrscheinlichkeit
Beispiel 24
Der Test der UE Statistik besteht aus 4 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, von denen
genau 1 richtig ist. Für jede richtige Antwort bekommt man einen Punkt. Angenommen
man beantwortet alle Fragen völlig willkürlich, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
a) keinen Punkt
b) mindestens 2 Punkte
c) alle Punkte
zu erreichen?
Beispiel 25
Eine faire Münze wird viermal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender
Ereignisse:
a) Höchstens einmal Kopf
b) Genau zweimal Kopf
Beispiel 26
Die Chance eine positive Note auf eine Multiple-Choice Klausur zu bekommen ohne
gelernt zu haben, beträgt 30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Klausur zu
bestehen, wenn insgesamt 4 Antritte erlaubt sind?
Beispiel 27
Sie würfeln mit zwei fairen Würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Augensumme kleiner als 6 ist?
Beispiel 28
Von einem Würfel sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:
P(x=1)
P(x=2)
P(x=3)
P(x=4)
P(x=5)
P(x=6)
0,1
0,5
0,1
0,1
0,1
0,1
Sie würfeln zweimal hintereinander.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Augenzahlen gerade?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste Augenzahl kleiner gleich 2 und die zweite
Augenzahl mindestens 5?
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für diesen Würfel.
Beispiel 29
Eine Firma hat erhoben, wie die Mitarbeiter zur Arbeit kommen:
Auto
Öffis
gesamt
Frauen
48
111
159
Männer
78
63
141
gesamt
126
174
300
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
6
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
a) Eine zufällig ausgewählte Person ist weiblich.
b) Eine zufällig ausgewählte Person kommt mit den Öffis zur Arbeit.
c) Eine zufällig ausgewählte Mitarbeiterin kommt mit den Öffis zur Arbeit.
d) Bei einer zufällig ausgewählten Person handelt es sich um einen Mann, der mit dem
Auto zur Arbeit fährt.
e) Bei einer, unter den Öffi-Fahrern, zufällig gewählten Person, handelt es sich um eine
Frau.
f) Sind die Merkmale „Frau“ und „Öffis“ voneinander abhängig?
Beispiel 30
HIV-Tests weisen in Österreich mittlerweile eine sehr hohe Genauigkeit auf. So haben
99,9% aller HIV-Positiv diagnostizierten Personen tatsächlich HIV und nur 0,3% aller HIVPositiv Diagnostizierten sind in Wahrheit HIV-Negativ. Insgesamt sind 0,1% aller
Österreicher HIV-Positiv.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem positiven Testergebnis
tatsächlich HIV hat?
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man trotz negativem Testergebnis HIV hat?
Beispiel 31
Ein Losverkäufer verkauft 500 Lose zu je einem Euro. Ein Los enthält einen Gewinn von
200€, fünf Lose einen Gewinn von 30€ und bei 10 weiteren Losen kann man jeweils 10€
gewinnen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 3 gekauften Losen ein Gewinnlos zu finden?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 3 gekauften Losen nur Gewinnlose zu haben?
c) Wie hoch ist der erwartete Gewinn?
Beispiel 32
In einem Topf befinden sich 20 weiße und 60 schwarze Kugeln. Es wird fünfmal ohne
zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
a) genau 3 weiße Kugeln
b) mindestens 1 weiße Kugel
c) höchstens 1 weiße Kugel
zu ziehen?
Beispiel 33
In fünf Prozent aller Fälle funktioniert einen Anmeldung in UGO nicht. Im Laufe eines
Semesters wollen Sie sich 100x in UGO anmelden.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sich höchstens 3x nicht anmelden
können?
b) Dürfen Sie durch Normalverteilung approximieren?
Beispiel 34
Im Schnitt findet in Österreich alle zweieinhalb Jahre ein Erdbeben statt.
a) Wie viele Erbeben erwarten Sie pro Jahr?
b) Wie wahrscheinlich ist das Auftreten von zwei Erdbeben in einem Jahr?
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Jahr gar kein Beben gibt?
7
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
Gegeben
seider Graph einer Dichtefunktion (linke Abbildung)
und jener e
Beispiel 35
funktion
(rechte Grafik):
Um beim Mensch-ärgere-dich-nicht herauszukommen, muss man einen 6er würfeln. Dazu
hat man 3 Versuche. Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit herauszukommen, wenn
Beispiel
34
man am Zug ist?
Beispiel 36
a) Bestimmen Sie anhand der Grafik der Dichtefunktion den Wert c.
b) Zeichnen Sie die dazugehörige Verteilungsfunktion.
groß ist dieSie
Wahrscheinlichkeit
P(3 ≤Grafik
X ≤ 7)? den Wert c.
•c) Wie
Bestimmn
in der linken
Beispiel 37
sei die Standardnormalverteilung
bei der Dichteoder bei
•Gegeben
Berechnen
und skizzieren SieN(0,1).
dazuZeichnen
jeweilsSieDichteund verteilungsfun
der Verteilungsfunktion folgende Flächen oder Werte ein:
≥ 1)'
P(1 ≤ Sie
Z ≤ 2)'
' der
P(Z
≤ 0,5)' Grafik
'
u0,8
' ' Median
u0,2
•P(ZBerechnen
aus
linken
den
Beispiel 38
Der IQ 35
von Studierenden der SOWI-Fakultät ist N(119, 18) verteilt.
Beispiel
groß ist die Wahrscheinlichkeit einem SOWI-Studenten mit einem IQ über 155 zu
Der a)IQWie
von
Studierenden der SOWI-Fakultät ist N(119,18)-verteilt.
begegnen?
b) Wie groß ist P(128 ≤ IQ ≤ 263)?
• Wie groß ist Wahrscheinlichkeit einem SOWI-Studenten mit einem IQ
Beispiel 39
nen?
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Normalverteilung
für die gilt: P(X > 20)=0,75 und P(X<30)=0,65.
•b) Wie
Wiegroß
groß
 IQ  263)
und
P(119
IQderart
 147)?
ist ist
die P(128
Wahrscheinlichkeit,
dass die
Summe
aus
zwei
verteilten,
unabhängigen Zufallsgrößen Werte größer als 30 annimmt?
Beispiel
c) Wie 36
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert aus 100 derart verteilten
Zufallsgrößen
als 30 ist?
Gegeben
sei einegrößer
Standardnormalverteilung
N(0, 1). Zeichnen Sie bei
der D
Beispiel 40 folgende Flächen/Werte ein: P(Z 2]1, •]), P(Z 2]1, 2]), P(Z
lungsfunktion
Über dem Intervall [a;b] sei die Zufallsgröße X stetig gleichverteilt. Die Wahrscheinlichkeit,
F(1),
F( 1, 5), Wert c für den gilt: P(Z < c) = 0, 8
dass X kleiner als 50 ist, ist 45% und die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 60 ist, ist
45%.
Beispiel
37sind a und b?
Wie groß
Bestimmen Sie µ und s der Normalverteilung für die gilt:
P(X > 20) = 0, 75 und P(X < 30) =8 0, 65
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
Beispiel 41
Ein durchschnittlicher Student wohnt 4 Jahre in demselben Studentenheim. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, das ein Student nach dem 2. Semester schon wieder auszieht?
(Hinweis: Exponentialverteilung)
Beispiel 42
a) Sei X ~ t (21). Berechnen Sie P(X<2,518), P(X>2,08) und P(1,323<X<2,831).
b) Seit X ~ 𝑥2 (11). Berechnen Sie P(X<3,01), P(X>19,68 und P(4,57<X<17,28).
5 Induktive Statistik - Konfidenzintervalle
Beispiel 43
Der Standard schrieb in seiner Ausgabe vom 31.10./01.11.2009:
„Richard Lugner will wieder Bundespräsident werden. Im Tiroler Rattenberg hätten ihn sich
23,17% als Bundespräsident vorstellen können. Österreichweit kam Richard Lugner 1998
auf 9,91%.“
Berechnen Sie das 95%-ige (zweiseitige) Konfidenzintervall zu Richard Lugners
Schätzung seiner Befürworter aufgrund der Umfrage in der Gemeinde Rattenberg (397
Einwohner).
Beispiel 44
Die mittlere Körpergröße sei 186 cm. Es wurden zwei Messungen durchgeführt (n1=10,
n2=201), die die Standardabweichungen s1=80 und s2=160 ergaben.
Bestimmen Sie die (zweiseitigen) Konfidenzintervalle für den Erwartungswert mit einem
Konfidenzniveau von 95%.
Beispiel 45
Angenommen man weiß, dass die Standardabweichung des IQ (normalverteilt) in der
Gesamtbevölkerung 26 beträgt. Der Erwartungswert ist jedoch unbekannt.
Wie groß müsste der Stichprobenumfang mindestens sein um ein 95%-Konfidenzintervall
der Länge 0,2 zu erhalten?
Beispiel 46
Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wurde folgende Stichprobe gezogen:
3,2! 5,4! 4,3! 4,1! 3,9! 5
a) Geben Sie ein Konfidenzintervall an, das den Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90% enthält.
b) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für die Varianz zum selben Niveau.
6 Induktive Statistik - Statistische Tests
Beispiel 47
Das Körpergewicht sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit einer Standardabweichung
von 2kg. Eine Umfrage unter neun Personen ergab ein mittleres Gewicht von 80kg.
a) Verwenden Sie einen geeigneten Test um zu überprüfen, ob bewiesen werden kann,
dass die Bevölkerung im Schnitt mehr als 80kg wiegt. α = 0,01
9
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
b) Innerhalb welcher Grenzen muss der beobachtete Mittelwert liegen um die
Gegenhypothese zu bestätigen?
Beispiel 48
Eine Lehrerin möchte zeigen, dass Schüler erwarten können, bei einem Test positiv zu
sein. Das ist ab 50 von 100 Punkten der Fall. Es ist bekannt, dass die Schüler im
Allgemeinen um 26 Punkte vom Erwartungswert abweichen.
Als Stichprobe wählt sie eine Klasse mit 23 Schülern. Diese Klasse hat im Schnitt 62
Punkte erreicht.
Kann die Lehrerin ihr Ziel erreichen? Testen Sie zum Niveau von 90%.
Beispiel 49
Für eine klinische Studie soll gezeigt werden, dass Neugeborene ein erwartetes
Geburtsgewicht von über 2,5kg haben. Eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% ist erlaubt.
Folgende Daten wurden an 5 Kindern gemessen:
!
!
3,6! !
4,5! !
2,1! !
2,9! !
1,5
Beispiel 50
Der Leiter eines Produktionsbetriebs ist besorgt, dass die Streubreite seiner Anlage über
5mm gestiegen ist. Er möchte sichergehen, dass dies nicht der Fall ist, da es sonst zu
erheblichen Kosten kommen würde. Deshalb prüft er 201 Schrauben und erhält eine
Stichprobenstandardabweichung von 4,5mm.
Formulieren Sie die Hypothesen und testen Sie zu einem Niveau von 2,5%.
Beispiel 51
Bisher sind die Grazer Linien davon ausgegangen, dass 25% aller Fahrgäste eine
Tageskarte besitzen. Bei einer kleinen Fahrgastbefragung gaben von den 5 befragten
Personen 2 an, eine Tageskarte zu besitzen.
Testen sie mit α = 0,1 ob sich der Anteil der Tageskartenbesitzer vergrößert hat.
Beispiel 52
Im Jänner 2002 war im Sportteil der Kleinen Zeitung folgende Notiz zu lesen:
„Kopf oder Zahl? Schiedsrichter aufgepasst! Hat die Euro-Einführung auch Auswirkungen
auf Platzwahl und Losentscheidungen bei Fußballspielen? Die „Süddeutsche Zeitung“ hat
die deutsche Euro-Münze getestet: Bei 250 Würfen landete 141 Mal der Adler oben.“
Kann man aufgrund des Ergebnisses die Vermutung bestätigen, dass die Münze nicht
regelmäßig ist? Testen Sie zu einem Niveau von 0,05.
Beispiel 53
Ein Labradorzüchter hat die Vermutung, dass die Größe von Labrador Retrievern, die in
den Farben Schwarz, Braun und Gelb gezüchtet werden, von ihrer Fellfarbe abhängt.
Kann er seine Vermutung zum Niveau α = 5% bestätigen, wenn folgende Daten vorliegen?
Gelb
Braun
Schwarz
45-50
22
33
10
50-55
55
60
22
55-60
13
70
40
60+
40
43
45
10
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
Beispiel 54
Letzte Woche kamen in Graz elf männliche Babies mit einem mittleren Gewicht von 3357g
und einer Stichprobenstandardabweichung von 458g, sowie 17 weibliche Babies mit
einem mittleren Gewicht von 3040g und einer Stichprobenstandardabweichung von 345g
auf die Welt. Die Geburtsgewichte werden als normalverteilt betrachtet. Testen Sie zu α =
5% ob
a) man die Gleichheit der Varianzen akzeptieren kann
b) neugeborenen Mädchen leichter sind als Buben
Beispiel 55
Eine amerikanische Elite Universität möchte beweisen, dass ihre Studenten bei der
Abschlussklausur durchschnittlich mehr Punkte erreichen, als die Studenten einer
kanadischen Universität. Dazu wertet sie je 10 Klausuren aus Kanada und den USA aus.
Die amerikanischen Studenten hatten im Durchschnitt 86 Punkte bei einer
Stichprobenvarianz von 14, die kanadischen Studenten hatten im Durchschnitt 82 Punkte
bei einer Stichprobenstandardabweichung von 6.
Lässt sich die Behauptung der amerikanischen Universität zu einem Niveau von 5%
bestätigten? Setzten Sie wenn nötig Normalverteilung voraus.
Beispiel 56
Um die Wirksamkeit des Statistik-Tutoriums zu evaluieren, werden die Klausurnoten von
47 Studenten verglichen. Die 15 Studenten, die das Tutorium nicht besuchten, erreichten
im Durchschnitt 52 Punkte bei einer Stichprobenstandardabweichung von 23 Punkten. Die
restlichen 32 hatten das Tutorium besucht und durchschnittlich 63 Punkte erreicht, s=9.
Lässt sich zu einem Niveau von 10% beweisen, dass der Tutoriumsbesuch Auswirkungen
auf die erreichten Punkte bei der Klausur hat?
Beispiel 57
Der Trainer des U19 Skiteams will vor einer Gehaltsverhandlung seine Leistung beweisen,
und will statistisch bestätigen, dass sich seine Mannschaft in den letzten 2 Jahren um
durchschnittlich 15 Plätze in der Weltrangliste verbessert hat. Gelingt ihm das bei einem
Alpha von 10%?
Läufer
1
2
3
4
5
6
7
2011
25
89
50
30
47
74
83
2013
17
87
34
5
2
66
50
Beispiel 58
Ein Nachhilfeinstitut wird verklagt, weil ein Student trotz Nachhilfe die Klausur nicht
bestanden hat. Das Gericht beschließt der Verteidigung Recht zu geben, wenn sie
beweisen können, dass sich die Schüler des Instituts durchschnittlich um mehr als 15
Punkte verbessern konnten, wobei das Konfidenzniveau 99% beträgt. Die Leistung von 5
Schülern wird betrachtet und als normalverteilt beurteilt. Wird das Institut freigesprochen?
Schüler
1
2
3
4
5
Erster Antritt
24
40
3
12
32
Nach Nachhilfe
52
47
20
36
52
11
Tutorium zur VO aus Statistik'
Beispielsammlung
Beispiel 59
Gegeben seien die Klausurergebnisse von folgenden 7 Personen:
Student
1
2
3
4
5
6
7
Statistik
4
1
2
4
5
5
3
Mathematik
3
2
2
5
5
4
4
Lässt sich beweisen, dass Studenten, die eine gute Note auf die Statistikklausur hatten,
auch eine gute Note in Wirtschaftsmathematik erreichen? Testen Sie sowohl zu α=0,1 als
auch zu α=0,01.
Beispiel 60
Für einen Laufwettbewerb darf jeweils nur ein Team aus jedem Bundesland nominiert
werden. Es gibt jedoch 2 steirische Teams mit je 5 Läufern, die daran teilnehmen wollen.
Deshalb beschließt der Trainer sie gegeneinander antreten zu lassen um das bessere
Team zu finden.
Wenn er das Team A bevorzugt, wie wird er dann die Hypothesen wählen? Welches Team
wird antreten dürfen? Testen Sie ohne Normalverteilungsannahme zu einem Fehlerniveau
von 1%.
Läufer
1
2
3
4
5
Team A
12
10
7
8
7,5
Team B
7
8
8
11
14
Beispiel 61
Ein Schwimmbadbesitzer ist unsicher, ob es notwendig ist, bei höheren
Wassertemperaturen mehr Chlor einzusetzen. Er beauftragt Sie seine Vermutung zu
überprüfen. Welche Empfehlung geben Sie dem Schwimmbadbesitzer? Setzten Sie
Normalverteilung voraus und testen Sie zu α=10%.
Tag
1
2
3
4
Temperatur °C
22
24
25
18
Verschmutzung in g/l
10
12
14
8
12