Wahrscheinlichkeitsverteilungen für diskrete Zufallsereignisse

Tutorium Grundlagen der Statistik (Sven Eichhorn)
- Vorlesung 6 -
Wahrscheinlichkeitsverteilungen für diskrete Zufallsereignisse
(Kapitel 6)
Hypergeometrische Verteilung, Binomialverteilung,
Poissonverteilung
Grundbegriffe:
N
Grundgesamtheit
M
Anzahl der Merkmalsträger
n
Stichprobe
P (x )
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses x
p
Wahrscheinlichkeit
μ
Durchschnittswert
e
eulersche Zahl
Formelsammlung: S. 52 – 53
Übungsaufgaben:
(1) Ein einem Tüte befinden sich fünf Tomaten, von denen zwei faul sind. Zwei Tomaten
werden zufällig aus der Tüte ohne Zurücklegen entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Tomate höchstens
eine faule befindet?
Gegeben:
X: faule Tomate/ Anzahl in der Stichprobe (diskrete Zufallsgröße)
N =5
Grundgesamtheit
n=2
Stichprobe
M =2
Merkmalsträger
Gesucht:
P (x⩽1)=?
1
Tutorium Grundlagen der Statistik (Sven Eichhorn)
- Vorlesung 6 Lösung:
P (x⩽1)=P ( x=0)+ P ( x=1)
M ∗ N −M
(
x ) ( n−x )
P (x= x)=
( Nn )
2 ∗ 5−2
2 ∗ 5−2
(
)
(
)
(
0
2−0
1 ) (2−1)
P (x⩽1)=
+
(52)
(52)
FS S.52 Hypergeometrische Verteilung
P (x⩽1)=0,3+ 0,6
P (x⩽1)=0,9
P ( x⩽1)=90 %
(2) Eine Münze wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei
a)
b)
c)
1 mal
2 mal
3 mal Zahl auftritt?
Gegeben:
X: Die Münze zeigt Zahl an.
n=4
Stichprobe
p=0,5
Wahrscheinlichkeit das Zahl auftritt
Gesucht:
a)
P (x=1)=?
b)
P ( x=2)=?
c)
P (x=3)=?
Lösung:
a)
P (x= X )=( n )∗ p ∗(1− p)
x
x
(n− x)
FS S.53 Binomialverteilung
P (x=1)=( 4 )∗0,51∗(1−0,5)(4−1)
1
P (x=1)=25 %
2
Tutorium Grundlagen der Statistik (Sven Eichhorn)
- Vorlesung 6 b)
P (x=2)=( 4 )∗0,5 ∗(1−0,5)
2
2
(4−2 )
P (x=2)=37,5 %
c)
P (x=3)=( 4 )∗0,5 ∗(1−0,5)
3
3
(4 −3 )
P (x=3)=25 %
(3) Eien bank hat drei Filifalen in einer Stadt. Die Anzahl der Kunden, die diese Filialen pro
Stunde betreten, betrage durchschnittlich 2, 2, 1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a)
b)
innerhalb einer Satunde insgedamt 8 Kunden die Filialen betreten,
innerhalb von zwei Stunden insgedamt 12 Kunden die Filialen betreten?
Gegeben:
X: Die Anzahl der Kunden in den Filialen
μ=2+ 2+1
μ=5
Gesucht:
a)
P (x=8)=?
b)
P ( x=12)=?
Lösung:
a)
x
P (x= X )=
P (x=8)=
−μ
(μ ∗e )
( x!)
FS S.53 Possionverteilung
(58∗e−5)
(8 !)
P (x=8)=6,53 %
3
Tutorium Grundlagen der Statistik (Sven Eichhorn)
- Vorlesung 6 b)
P (x=12)=
(10 12∗e−10)
(12 !)
P (x=12)=9,48 %
(4) Die in einer Telefonzentrale ankommenden Anrufe pro Minute betragen durchschnittlich 1
Anruf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute
a) genau 1,
b) höchstens 1,
c) mindestens 1,
d) 2 oder 3 Anrufe ankommen?
a)
P (x=1)=36,79 %
b)
P (x⩽1)=73,58 %
c)
P ( x⩾1)=63,21 %
d)
P ( x=2∨ x=3)=24,5 %
(5) Unter 10 Erzeugnissen sind 4 fehlerhafte Erzeugnisse. Es werden 3 Erzeugnisse zufällig
ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Erzeugnissen
a)
b)
höchstens ein fehlerhaftes,
mindestens ein fehlerhaftes Stück ist?
a)
P (x⩽1)=66,67 %
b)
P (x⩾1)=83,33 %
4
Tutorium Grundlagen der Statistik (Sven Eichhorn)
- Vorlesung 6 (6) In einer Werkhalle laufen 6 gleichartige Maschinen, die unabhängig voneinander arbeiten.
Die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall in einer bestimmten Zeiteinheit beträgt für jede
dieser Maschinen 0,1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a)
b)
c)
genau 5 Maschinen arbeiten,
mindestens eine Maschine arbeitet?
Wie groß ist die mittlere Anzahl der in einer solchen Zeiteinheit arbeitenden
Maschinen?
a)
P ( x=5)=35,43 %
b)
P ( x=1)=99,99 %
c)
E ( x )=5,4
(7) Weitere Übungsaufgaben:
Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät
Wirtschaft im Unterordner „Statistik“.
Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben der ausgegebenen Klausuren zu
üben, sowie bei den Übungsaufgaben speziell die nachfolgenden.
Aufgaben 2, 3, 7, 9, 17, 18, 19
5