¨Ubungen “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastische

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Übungen “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastische Prozesse”
WS 2015/2016
Institut für
Mathematik C
Institut für mathematische Strukturtheorie (Math. C)
17. November 2015
26. In einer Lostrommel befinden sich 30 Lose, wobei davon 10 Gewinnlose sind. Es werden
5 Lose gezogen. Sei X die Anzahl der gezogenen Gewinne.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich X vom erwarteten Wert um höchstens
2σ unterscheidet, wenn die Lose mit Zurücklegen gezogen werden.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich X vom erwarteten Wert um höchstens
2σ unterscheidet, wenn die Lose ohne Zurücklegen gezogen werden.
27. In einer großen Warenlieferung befinden sich 300 Computerchips. Zur Qualitätssicherung
werden 20 Chips zufällig entnommen und auf Defekte überprüft. Durchschnittlich sind
2% der Chips defekt. Sei X die Anzahl der defekten Chips in der Stichprobe.
(a) Wie viele defekte Chips sind in der Stichprobe zu erwarten? Wie groß ist die Varianz
von X?
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei Chips in der Stichprobe
defekt sind durch
i. exakte Rechnung (d.h. Ziehen ohne Zurücklegen),
ii. durch Approximation mit Hilfe der Binomialverteilung (d.h. Ziehen mit Zurücklegen).
28. Man betrachte ein Zufallsexperiment, welches mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) zu einem
Erfolg führt und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p zu einem Mißerfolg. Das Experiment werde
so oft wiederholt, bis das erste Mal ein Erfolg eintritt. Sei X die Anzahl der Fehlversuche
und Y die Anzahl der notwendigen Versuche bis zum ersten Erfolg (inkl. des erfolgreichen
Versuchs gezählt). Man berechne Var(X) sowie Var(Y ).
Hinweis: Man verwende folgende Gleichungen für x ∈ (0, 1):
∞
∞
k=0
k=2
1 ′′ X k ′′ X
k(k − 1)xk−2 .
=
x
=
1−x
29. Man werfe einen Würfel so lange, bis das erste Mal eine 6 gewürfelt wird. Der Einsatz
für ein Spiel betrage 5 Euro. Man erhält eine Auszahlung von k Euro, wenn beim k-ten
Versuch das erste Mal eine 6 gewürfelt werde. Sei X der Netto-Gewinn(bzw. Verlust)
nach diesem Spiel. Man berechne den erwarteten Gewinn, dessen Varianz und Standardabweichung.
30. Beim Roulettespiel setzt ein Spieler immer auf das mittlere Drittel (Zahlen 13 bis 24).
Wie oft muß der Spieler mindestens spielen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 98% mindestens einmal gewinnt?
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