ProbeKlausur SS-2012 mit Lösungen

Zur Messung des Druckes werden in einer Dampfturbine 3 von einander unabhängige Sensoren
eingebaut. Ein Auswertungssystem vergleicht die Ausgaben (Output-Signale) der 3 Sensoren
miteinander. Wenn mindestens 2 dieser Ausgaben identisch sind, wird das Messergebnis
angenommen und für andere Steuergeräte verwendet.
Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass jeder Sensor einen Fehler macht, beträgt 10%.
Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das System zuverlässig funktioniert
(d.h., dass 2 oder 3 Sensoren keinen Fehler machen) 0,972 beträgt.
3p
Das Auswertungssystem verwendet immer die Messergebnisse, wenn mindestens 2 der Ergebnisse
identisch sind. In 1% der Fälle kommt es aber leider vor, dass 2 oder 3 Sensoren den gleichen Fehler
machen, so dass das Auswertungssystem die Ergebnisse als richtig annimmt und weiter verwendet.
In wie viel Prozent der Fälle insgesamt werden die Ergebnisse der Sensoren vom Auswertungssystem
angenommen?
2p
Wenn ein Messergebnis angenommen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis
Fehlerhaft ist?
2p
_________________________________________________________________________ _____
Folgendes gemischtes System ist gegeben. Die Komponenten A , B bzw. C seien unabhängig von
einander. Es seien P(A) = 0,9 P(B) = 0,9 bzw. P(C) = 0,8 die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die
Komponenten A , B bzw. C funktionieren.
Das System fällt dann aus, wenn A und C oder B und C oder alle 3 ausfallen.
A
B
C
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System zuverlässig funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
2p
2p
_________________________________________________________________________________
!
Die Lebensdauer T von Dioden eines Herstellers sei eine exponentiellverteilte Zufallsvariable. Die
mittlere Lebensdauer dieser Dioden beträgt 200 Stunden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer Diode höchstens 200 Stunden beträgt?
1p
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer Diode mindesten 300 Stunden beträgt?
1p
Bestimmen Sie die Lebensdauerzeit, so dass die Wahrscheinlichkeit für Lebensdauerzeiten weniger als
diesen Wert 0,5 beträgt. (Median)
2p
________________________________________________________________________________
" Bei einem Getränkeabfüllautomat sei die Füllmenge von Flaschen (Fassungsvermögen 250 ml) eine
normalverteilte Zufallsvariable. Der Automat füllt jede Flasche im Durchschnittlich mit 200 [ml] Getränke
ab.
Aus längeren Beobachtungen ist bekannt, dass 2,5% aller Flaschen mit weniger als 151 [ml] Getränke
abgefüllt werden. Zeigen Sie, dass die Standardabweichung für die Füllmenge des Automaten = 25
[ml] beträgt.
2p
Welcher Anteil der Flaschen werden mit mehr als 220 [ml] Getränke abgefüllt?
#$ % = 25 [ml] (s. Teilaufgabe a)
2p
Wenn man 1000 Flaschen aus der Produktion entnimmt, wie viele dieser Flaschen werden eine
Füllmenge zwischen 190 [ml] und 210 [ml] besitzen?
#$ % = 25 [ml] (s. Teilaufgabe a)
2p
& Es sollen neue kleinere Flaschen verwendet werden. Wie groß muss das Fassungsvermögen (Volumen)
der Flaschen gewählt werden, damit nur 6,3% aller Flaschen überfüllt werden?
#$ % = 25 [ml] (s. Teilaufgabe a)
2p
______________________________________________________________________________
Ein Abnehmer bekommt eine Packung mit 50 Speicherchips. Zur Kontrolle werden zufällig (ohne
Zurücklegen) 5 Chips entnommen und geprüft. Wenn höchstens einer (d.h. keiner oder einer) defekt ist,
wird die Packung angenommen, sonst zurückgeschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
die Packung angenommen wird,
wenn die Packung keine defekte Chips enthält?
1p
wenn die Packung 3 defekte Chips enthält?
2p
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( Ein Konzern stellt Mikrochips auf 2 unterschiedliche Anlagen her. Die erste Anlage A produziert Chips
mit einem Ausschuss von 10%, die zweite Anlage B mit einem Ausschuss von 40%. Anlage A produziert
80% dagegen B nur 20% der Chips. Diese Chips werden zu mehreren tausend Stücke in Packungen mit
der Aufschrift A bzw. B verpackt.
'
Eine Packung wurde versehentlich nicht gekennzeichnet. Dafür nahm ein Prüfer zufällig aus dieser
Packung 20 Chips und überprüfte diese. Dabei waren 16 Stück intakt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
kann er annehmen, dass diese Packung Chips aus der Anlage A enthält?
6p
Ein Käufer möchte die von Anlage A produzierten Chips bestellen. Wie viele muss er bestellen, damit mit
einer Wahrscheinlichkeit von 15,87% in der Bestellung höchstens 7 defekte Chips dabei sind?
6p
______________________________________________________________________________________
) An 100 mechanischen Bauteilen einer Serienproduktion wurde die Betriebszeit bis zum Ausfall
j
1
2
3
4
5
6
untersucht. Dabei wurde in einem Zeitraum von 3000 Stunden alle 500 Stunden notiert, wie viele
Bauteile jeweils ausgefallen sind. Die Ergebnisse dieser Messungen sind in der folgenden klassierten
Häufigkeitstabelle dargestellt.
Klasse
Abs. AusfallObere
Rel. AusfallKumulierte Ausfall
Kj
Klassengrenze: t j Häufigkeit: h j
Häufigkeit: f j
Häufigkeit. F j
[0 ; 500)
500
22
[500 ; 1000)
1000
28
[1000 ; 1500)
1500
25
[1500 ; 2000)
2000
13
[2000 ; 2500)
2500
7
[2500 ; 3000)
3000
5
Zeichnen Sie die Empirische Verteilungsfunktion (Summenkurve) für die Ausfall-Wahrscheinlichkeit.
2p
Die Lebensdauer dieser Bauteile gehorcht einer Weibull-Verteilung. Schätzen Sie aus den ersten 5
Klassengrenzen t j der Ausfallzeiten und den entsprechenden kumulierten Häufigkeiten F j der
Ausfallwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Regressionsanalyse die Parameter α und β für die WeibullVerteilung.
9p
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil eine Betriebszeit von 1200 [h] überlebt?
2p
*
+ , -.
#%__________________________________________________________________
/ Eine Lieferung enthält 20 Bolzen. Davon sind 4 von guter Qualität 10 von mittlerer und 6 von schlechter
Qualität.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Bolzen guter, 4 Bolzen mittlerer und 3 Bolzen schlechter Qualität
anzuordnen?
1p
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) ein Bolzen guter, b) ein Bolzen mittlerer c) ein Bolzen schlechter
Qualität aus der Lieferung zu ziehen?
1p
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 9 Bolzen mit Zurücklegen aus der Lieferung zu ziehen, so dass man
2 Bolzen guter, 4 Bolzen mittlerer und 3 Bolzen schlechter Qualität erhält?
2p
____________________________________________________________________________
0 Das Handgepäck an einem Flughafen wird wie folgt kontrolliert.
Bei der 1. Kontrolle wird das Gepäck durch den Scanner durchleuchtet. Diese Kontrolle liefert zu 90% ein
eindeutiges Ergebnis. Dieser Vorgang dauert 10 [sec].
Erhält man bei der 1. Kontrolle kein eindeutiges Ergebnis, wird das Gepäck bei der 2. Kontrolle wieder
durchleuchtet Diese Kontrolle liefert zu 60% ein eindeutiges Ergebnis. Dieser Vorgang dauert auch10
[sec].
Erhält man immer noch kein Ergebnis, wird bei der 3. Kontrolle das Gepäck geöffnet und geprüft. Dieser
Vorgang dauert auch 300 [sec].
Zwischen 2 Kontrollen vergehen 30 [sec]. Ermitteln Sie die durchschnittliche Zeit, die für die Kontrolle
4p
eines Gepäcks benötigt wird.
n– k
F(t )
1
Ausfallzeit-Wahrscheinlichkeit :
Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung
α = 0,000016 ; β = 1,547
R(t )
Überlebens-Wahrscheinlichkeit :
Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung
α = 0,000016 ; β = 1,547
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
t [h]
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
t [h]
0
500
1000
!
1500
2000
2500
3000
4
3