Mathematik_10c_files/1. Klassenarbeit 10c 2016_2017

LudwigWilhelmGymnasium
1. K l a s s e n a r b e i t
Vorname,
Name
Mathematik 15. November 2016
1
Grundlegendes
⎛ 11⎞
a) Was sagt das Ergebnis ⎜⎝ 5 ⎟⎠ bei einem 11-stufigen Bernoulliexperiment aus?
⎛ n⎞
b) Wie lautet die Formel zur Berechnung von ⎝⎜ k ⎠⎟ ?
c) Wie lauten die ersten 3 Zahlen der 100. Reihe des pascalschen Dreiecks?
Die Berechnung des dritten (höchsten) Wertes dieser Aufgabe ist ohne Taschenrechner
auszuführen und der Rechenweg ist schriftlich darzustellen.
d) Berechne ohne Taschenrechner P ( X = 4 ) für eine fünfstufige Bernoullikette mit einer
Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,3 . Der Rechenweg muss ersichtlich sein.
e) Drei weiße, eine schwarze und eine grüne Kugel sollen zufällig auf 8 Plätze verteilt werden.
Wieviele Möglichkeiten der Anordnung ergeben sich dabei. Die Berechnung muss
nachvollziehbar dargestellt werden. (Die weißen Kugeln sind nicht weiter unterscheidbar.)
2
Ein Aufnahmetest besteht aus 4 Fragen mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine
richtig ist. X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt.
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch dar.
b) Berechne den Erwartungswert μ dieser Verteilung und Ergänze deine Graphik um diesen Wert.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat den Test, wenn er auf gut Glück jeweils
eine Antwort ankreuzt? Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens 3 Fragen richtig
beantwortet sind.
© Lippert Samstag, 19. November 2016
3
Ein Hersteller produziert in einem Monat 50.000 Speicherchips. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Chip fehlerhaft und dadurch unbrauchbar ist, beträgt 30%.
a) Mit wie vielen defekten Speicherchips ist zu rechnen?
b) Warum ist die Wahrscheinlichkeit für P ( X = k ) ; 0 ≤ k ≤ 50.000 für jedes k sehr klein?
c) Berechne die kumulierte Wahrscheinlichkeit für eine Umgebung von ±40 Chips um den Erwartungswert (alternativ um den Wert 14.900).
d) Die Herstellung eines Chips kostet 7 Euro. Entscheide, für wieviel Euro ein intakter Chip verkauft
werden sollte, damit man mit großer Wahrscheinlichkeit (≈ 97%) keinen Verlust macht.
Bedenke: Der Markt ist stark umkämpft, der Preis muss also möglichst billig sein, da können
Centbeträge entscheidend sein. Mache einen guten Preisvorschlag, bei dem 3 € pro verkauftem Chip verdient werden können. Das Entsorgen eines defektes Chips kostet 10 Cent.
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LudwigWilhelmGymnasium
1
Grundlegendes
⎛ 11⎞
a) Was sagt das Ergebnis ⎜⎝ 5 ⎟⎠ bei einem 11-stufigen Bernoulliexperiment aus?
Es gibt die Anzahl der Äste im Baumdiagramm wieder, in denen jeweils 5 Treffer enthalten
sind.
⎛ n⎞
b) Wie lautet die Formel zur Berechnung von ⎜⎝ k ⎟⎠ ?
n ( n −1)( n − 2 ) ⋅…⋅ ( n − k +1)
⎛ n⎞
n!
⎜⎝ k ⎟⎠ = k!( n − k )! oder
k ( k −1)( k − 2 ) ⋅…⋅1
c) Wie lauten die ersten 3 Zahlen der 100. Reihe des pascalschen Dreiecks?
Die Berechnung des dritten (höchsten) Wertes dieser Aufgabe ist ohne Taschenrechner
auszuführen und der Rechenweg ist schriftlich darzustellen.
⎛ 100⎞
⎜⎝ 0 ⎟⎠
= 1,
⎛ 100⎞
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎞
100⋅99
9900
= 100, ⎛⎜⎝ 100
2 ⎟⎠ = 2⋅1 = 2 = 4950
d) Berechne ohne Taschenrechner P ( X = 4 ) für eine fünfstufige Bernoullikette mit einer
Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,3 . Der Rechenweg muss ersichtlich sein.
P ( X = 4 ) = B ( 5;0,3; 4 ) = ⎛⎝⎜ 54⎞⎠⎟ ⋅ 0,34 ⋅0,71 = 5⋅0,0081⋅0,7 = 2,835%
e) Drei weiße, eine schwarze und eine grüne Kugel sollen zufällig auf 8 Plätze verteilt werden.
Wieviele Möglichkeiten der Anordnung ergeben sich dabei. Die Berechnung muss
nachvollziehbar dargestellt werden. (Die weißen Kugeln sind nicht weiter unterscheidbar.)
Möglichkeiten =
5 Kugeln
!"
# #
$
8⋅7⋅6⋅5⋅4
3⋅2⋅1
%
= 1120
© Lippert Samstag, 19. November 2016
3 nicht
unterscheidbar
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2
Ein Aufnahmetest besteht aus 4 Fragen mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von
denen genau eine richtig ist. X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig
beantworteten Fragen beschreibt.
0,16 %
2,56 %
15,36 %
40,96 %
40,96 %
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch dar.
b) Berechne den Erwartungswert μ dieser Verteilung und Ergänze deine Graphik um diesen Wert.
µ=0,8
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat den Test, wenn er auf gut Glück jeweils
eine Antwort ankreuzt? Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens 3 Fragen richtig
beantwortet sind.
© Lippert Samstag, 19. November 2016
P ( X ≥ 3) = 1− F ( 4;0,2;2 ) = 0,0272 ≈ 2,72 %
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Ein Hersteller produziert in einem Monat 50.000 Speicherchips. Die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Chip fehlerhaft und dadurch unbrauchbar ist, beträgt 30%.
a) Mit wie vielen defekten Speicherchips ist zu rechnen?
µ = np = 50.000⋅0,3 = 15.000 Er muss mit 15.000 defekten Chips rechnen.
b) Warum ist die Wahrscheinlichkeit für P ( X = k ) ; 0 ≤ k ≤ 50.000 für jedes k sehr klein?
Die Wahrscheinlichkeiten für k-Treffer summieren sich zu 1 (100 %). Bei großem n (50.000) bleibt
für die einzelnen Summanden daher nur wenig übrig.
c) Berechne die kumulierte Wahrscheinlichkeit für eine Umgebung von ±40 Chips um den Erwartungswert (alternativ um den Wert 14.900).
P (14960 ≤ X ≤15040 ) = F ( 50.000;0,3;15040 ) − F ( 50.000;0,3;14959 )
≈ 0,6538692 − 0,3465359 ≈ 30,73 %
d) Die Herstellung eines Chips kostet 7 Euro. Entscheide, für wieviel Euro ein intakter Chip verkauft
werden sollte, damit man mit großer Wahrscheinlichkeit (≈ 97%) keinen Verlust macht.
Bedenke: Der Markt ist stark umkämpft, der Preis muss also möglichst billig sein, da können
Centbeträge entscheidend sein. Mache einen guten Preisvorschlag, bei dem 3 € pro verkauftem Chip verdient werden können. Das Entsorgen eines defektes Chips kostet 10 Cent.
P ( X ≤15193) ≈ 0,9704004
P ( X ≤15192 ) ≈ 0,9697393
Es können mit 97%-prozentiger Wahrscheinlichkeit 34807 Chips verkauft werden.
Die Herstellungskosten zuzüglich der Entsorgungskosten, geteilt durch diese Zahl ergeben den
tatsächlichen Herstellungspreis:
50.000⋅7€ +15193⋅0,1€
≈10,099098 €
34807
10,10 € + 3€ = 13,10 €
© Lippert Samstag, 19. November 2016
Es müssten 13,10 € als Preis verlangt werden.
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