M_10d_files/1. Klassenarbeit 10d

LudwigWilhelmGymnasium
1. K l a s s e n a r b e i t
Vorname,
Name
Mathematik 6. November 2014
Klasse 10d
Gegebene und gesuchte Größen sind zu benennen, die Herleitung der Lösungen muss nachvollziehbar dargelegt werden. Bei Textaufgaben müssen Antworten formuliert werden.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Ein roter Golf-7, zwei graue Mercedes A-Klasse gleichen Typs, ein blauer Renault Clio und ein
schwarzer Jaguar E-Type 12-Zylinder fahren auf einen Parkplatz mit 10 freien Plätzen. Eine
Überwachungskamera fotografiert regelmäßig den Parkplatz. Nummernschilder und kleine
Details der Fahrzeuge sind darauf nicht erkennbar. Wieviele verschiedene Parkpositionen der
Fahrzeuge könnten auf dem Foto abgebildet sein?
C
bna Claus Lippert, Do. 6. Nov. 2014
2. Ein Aufnahmetest besteht aus 7 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten, von denen genau
eine richtig ist. X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen
beschreibt.
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch dar.
b) Berechne den Erwartungswert µ dieser Verteilung.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat den Test, wenn er auf gut Glück jeweils
eine Antwort ankreuzt? Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens 4 Fragen richtig
beantwortet sind.
3. Eine Maschine befüllt Flaschen. In 5% der Fälle wird die Normfüllmenge unterschritten. Ein
Großkunde führt eine Stichprobe durch, indem er 5000 Flaschen prüft.
a) Welche Anzahl von unterfüllten Flaschen wird bei einer solchen Stichprobe im Durchschnitt
erwartet?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er 270 oder mehr unterfüllte Flaschen?
c) Berechne die kumulierte Wahrscheinlichkeit für eine Umgebung von ±30 um den
Erwartungswert. Warum ist diese Wahrscheinlichkeit sehr hoch?
4. Beweise:
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎝ k ⎟⎠ = ⎜⎝ n − k ⎟⎠
1
1
⎛ n ⎞
n!
⎜⎝ k ⎟⎠ = k!( n − k )!
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LudwigWilhelmGymnasium
Lö
su
1. Ein roter Golf-7, zwei graue Mercedes A-Klasse gleichen Typs, ein blauer Renault Clio und ein
schwarzer Jaguar E-Type 12-Zylinder fahren auf einen Parkplatz mit 10 freien Plätzen. Eine
Überwachungskamera fotografiert regelmäßig den Parkplatz. Nummernschilder und kleine
Details der Fahrzeuge sind darauf nicht erkennbar. Wieviele verschiedene Parkpositionen der
Fahrzeuge könnten auf dem Foto abgebildet sein?
ng
geg: 5 Fahrzeuge, 2 davon nicht unterscheidbar
Lösung: (10⋅9⋅8⋅7⋅6 )
:%2
!#
#"##
$ Je zwei Möglichkeiten
5 Fahrzeuge
= 15120
sind nicht unterscheidbar
2. Ein Aufnahmetest besteht aus 7 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten, von denen genau
eine richtig ist. X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen
beschreibt.
1
geg: Bernoulli-Experiment n = 7; p =
3
k
B(n,p,k)
0
0,0585276637
1
0,2048468225
2
0,3072702333
3
0,2560585274
4
0,1280292635
5
0,0384087790
6
0,0064014632
7
0,0004572474
40,00 %
30,00 %
20,00 %
10,00 %
0 %
0
1
2
3
4
5
6
7
1
µ = np = 7⋅ ≈ 2,3333
3
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat den Test, wenn er auf gut Glück jeweils
eine Antwort ankreuzt? Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens 4 Fragen richtig
beantwortet sind.
ges: P ( X ≥ 4 ) = 1− P ( X ≤ 3) = 1− F (7; 31 ;3) ≈17,33%
C
bna Claus Lippert, Do. 6. Nov. 2014
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch dar.
b) Berechne den Erwartungswert µ dieser Verteilung.
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su
Lö
ng
3. Eine Maschine befüllt Flaschen. In 5% der Fälle wird die Normfüllmenge unterschritten. Ein
Großkunde führt eine Stichprobe durch, indem er 5000 Flaschen prüft.
a) Welche Anzahl von unterfüllten Flaschen wird bei einer solchen Stichprobe im Durchschnitt
erwartet?
geg: Bernoulli-Kette n = 5000; p = 0,05
µ = np = 5000⋅0,05 = 250
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er 270 oder mehr unterfüllte Flaschen?
ges: P ( X ≥ 270 ) = 1− P ( X ≤ 269 ) = 1− F ( 5000;0,05;269 ) ≈10,39%
c) Berechne die kumulierte Wahrscheinlichkeit für eine Umgebung von ±30 um den
Erwartungswert. Warum ist diese Wahrscheinlichkeit sehr hoch?
ges: P ( 220 ≤ X ≤ 280 ) = P ( X ≤ 280 ) − P ( X ≤ 219 ) ≈ 95,23%
Um den Erwartungswert sind die Wahrscheinlichkeiten für die Trefferzahlen am höchsten.
Hier summiert sich der Großteil der Summe aller Wahrscheinlichkeiten von 100%.
4. Beweise:
Setze ( n − k ) für k in die Formel ein:
⎛ n ⎞
n!
⎜⎝ n − k ⎟⎠ = ( n − k )! n − ( n − k ) !
(
)
|Formel angewendet
=
n!
( n − k )! ( n − n + k )!
|Klammer aufgelöst
=
n!
( n − k )! ( k )!
|n−n = 0
=
⎛ n⎞
n!
=⎜ ⎟
k!( n − k )! ⎝ k ⎠
|Kommutativgesetz im Nenner
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