Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler

Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler
Sei X eine diskrete Zufallsvariable, welche die Werte xi  x1
xn mit der Wahrscheinlichkeit
P  X  xi  annehmen kann. Der Erwartungswert einer solchen Zufallsvariablen ist definiert als
E  X    xi  P  X  x i 
(1)
i
Für eine andere diskrete Zufallsvariable Y mit den möglichen Werten y j  y1
Wahrscheinlichkeit P  Y  y j  eintreten, ist der Erwartungswert entsprechend
ym , die mit der
EY   yj PY  yj 
(2)
j
Die Summe X  Y hat den Erwartungswert
E  X  Y   E  X  E  Y 
(3)
Beweis:
Die möglichen Werte der Zufallsvariablen X  Y bestehen aus allen möglichen Summen x i  y j .
Jedes xi muss mit jedem yj kombiniert werden. So gibt es für x1 folgende Kombinationen:
x1  y1, x1  y2 , x1  y3 ,
, x1  ym
Ebenso kann x2 mit allen Ausprägungen von Y kombiniert werden:
x2  y1, x2  y2 , x 2  y3 ,
, x 2  ym
Entsprechend müssen die Summen mit x3 bis xn gebildet werden, sodass sich als letzte Kombination
ergibt:
xn  y1, xn  y2 , xn  y3 ,
, xn  ym
Alle diese Kombinationen von Ereignissen sind mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintritts zu multiplizieren und zum Erwartungswert zu addieren. Mit der Funktion P  X  xi ,Y  y j  für die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens der Ereignisse xi und yj ist der Erwartungswert aller möglichen
Kombinationen von xi und yj:
E X  Y 

 x1  y1   P  X  x1,Y  y1 
 x1  y2   P  X  x1,Y  y2 
 x1  y3   P  X  x1,Y  y3 

 x1  ym   P  X  x1,Y  ym 


 x2  y1   P  X  x2,Y  y1 
 x2  y2   P  X  x2,Y  y2 

 x2  ym   P  X  x2,Y  ym 


 xn  y1   P  X  xn,Y  y1 
 xn  y2   P  X  xn,Y  y2 

 xn  ym   P  X  xn,Y  ym 

-1-
579909123
Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler
In diesem Ausdruck können die Klammern ausmultipliziert werden:
E X  Y 
x1  P  X  x1,Y  y1   y1  P  X  x1,Y  y1 

x1  P  X  x1,Y  y2   y2  P  X  x1,Y  y2 

x1  P  X  x1,Y  y3   y3  P  X  x1,Y  y3 

x1  P  X  x1,Y  ym   ym  P  X  x1,Y  ym 

x2  P  X  x2 ,Y  y1   y1  P  X  x2 ,Y  y1 

x2  P  X  x2 ,Y  y2   y2  P  X  x2,Y  y2 

x2  P  X  x2 ,Y  ym   ym  P  X  x2,Y  ym 

xn  P  X  xn ,Y  y1   y1  P  X  xn,Y  y1 

xn  P  X  xn ,Y  y2   y2  P  X  xn ,Y  y2 

xn  P  X  xn ,Y  ym   ym  P  X  xn ,Y  ym 
Die Summanden werden getrennt nach xi und yj:
E X  Y 
x1  P  X  x1,Y  y1 

x1  P  X  x1,Y  y2 

x1  P  X  x1,Y  y3 

x1  P  X  x1,Y  ym 

x2  P  X  x2 ,Y  y1 

x2  P  X  x2 ,Y  y2 

x2  P  X  x2 ,Y  ym 

xn  P  X  xn ,Y  y1 

xn  P  X  xn ,Y  y2 

xn  P  X  xn ,Y  ym 

y1  P  X  x1,Y  y1 

y2  P  X  x1,Y  y2 

y3  P  X  x1,Y  y3 

ym  P  X  x1,Y  ym 

y1  P  X  x2 ,Y  y1 

y2  P  X  x2 ,Y  y2 

ym  P  X  x2 ,Y  ym 
-2-
579909123
Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler

y1  P  X  xn ,Y  y1 

y2  P  X  xn ,Y  y2 

ym  P  X  xn ,Y  ym 
Die Summanden, die yj enthalten, werden nach y1, y2, y3 usw. sortiert:
E X  Y 
x1  P  X  x1,Y  y1 

x1  P  X  x1,Y  y2 

x1  P  X  x1,Y  y3 

x1  P  X  x1,Y  ym 

x2  P  X  x2 ,Y  y1 

x2  P  X  x2 ,Y  y2 

x2  P  X  x2 ,Y  ym 

xn  P  X  xn ,Y  y1 

xn  P  X  xn ,Y  y2 

xn  P  X  xn ,Y  ym 

y1  P  X  x1,Y  y1 

y1  P  X  x2 ,Y  y1 

y1  P  X  xn ,Y  y1 

y2  P  X  x1,Y  y2 

y2  P  X  x2 ,Y  y2 

y2  P  X  xn ,Y  y2 

y3  P  X  x1,Y  y3 

y3  P  X  x2 ,Y  y3 

y3  P  X  xn ,Y  y3 

ym  P  X  x1,Y  ym 

ym  P  X  x2 ,Y  ym 

ym  P  X  xn ,Y  ym 
Hieraus können jeweils xi und yj mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ausgeklammert werden:
E X  Y 

x1  P  X  x1   P  Y  y1   P  Y  y 2 
 P  Y  ym  
x 2  P  X  x 2   P  Y  y1   P  Y  y 2 
 P  Y  ym  
-3-
579909123
Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler

xn  P  X  xn   P  Y  y1   P  Y  y 2 
 P  Y  y m  

y1  P  Y  y1   P  X  x1   P  X  x 2 
 P  X  x n  

y 2  P  Y  y 2   P  X  x1   P  X  x 2 
 P  X  xn  

ym  P  Y  ym   P  X  x1   P  X  x 2 
 P  X  xn  
Nun gilt
P  X  x1   P  X  x2 
 P  X  x n   P  X  x i   1
i
und
P  Y  y1   P  Y  y 2 
 P  Y  ym    P  Y  y j   1
j
Die eckigen Klammern in obigem Ausdruck lassen sich also sämtlich durch 1 ersetzen, sodass:
E X  Y 
x1  P  X  x1 

x2  P  X  x2 

xn  P  X  xn 

y1  P  Y  y1 

y2  P  Y  y2 

ym  P  Y  ym 
Dies lässt sich auch folgendermaßen formulieren:
E  X  Y    xi  P  X  xi    y j  P  Y  y j 
i
j
Hierin Gleichung (1) und Gleichung (2) eingesetzt:
E  X  Y   E  X  E  Y 
-4-
579909123