Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler

Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler
Sei X eine diskrete Zufallsvariable, welche die Werte xi = x1 … xn mit der Wahrscheinlichkeit
P ( X = xi ) annehmen kann. Der Erwartungswert einer solchen Zufallsvariablen ist definiert als
E ( X ) = ∑ xi ⋅ P ( X = xi )
(1)
i
Für eine andere diskrete Zufallsvariable Y mit den möglichen Werten y j = y1 … y m , die mit der
Wahrscheinlichkeit P ( Y = y j ) eintreten, ist der Erwartungswert entsprechend
E(Y) = ∑ yj ⋅P(Y = yj )
(2)
j
Die Summe X + Y hat den Erwartungswert
E ( X + Y ) = E ( X) + E ( Y )
(3)
Beweis:
Die möglichen Werte der Zufallsvariablen X + Y bestehen aus allen möglichen Summen x i + y j .
Jedes xi muss mit jedem yj kombiniert werden. So gibt es für x1 folgende Kombinationen:
x1 + y1, x1 + y 2 , x1 + y 3 , …, x1 + ym
Ebenso kann x2 mit allen Ausprägungen von Y kombiniert werden:
x 2 + y1, x 2 + y 2 , x 2 + y 3 , …, x 2 + ym
Entsprechend müssen die Summen mit x3 bis xn gebildet werden, sodass sich als letzte Kombination
ergibt:
xn + y1, xn + y 2 , xn + y 3 , …, xn + ym
Alle diese Kombinationen von Ereignissen sind mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintritts zu multiplizieren und zum Erwartungswert zu addieren. Mit der Funktion P ( X = x i ,Y = y j ) für die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens der Ereignisse xi und yj ist der Erwartungswert aller möglichen
Kombinationen von xi und yj:
E( X + Y) =
+
( x1 + y1 ) ⋅ P ( X = x1,Y = y1 )
( x1 + y2 ) ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 )
( x1 + y3 ) ⋅ P ( X = x1,Y = y3 )
+
( x1 + ym ) ⋅ P ( X = x1,Y = ym )
+
+
( x2 + y1 ) ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 )
( x2 + y2 ) ⋅ P ( X = x2 ,Y = y2 )
+
( x2 + ym ) ⋅ P ( X = x2 ,Y = ym )
+
+
( xn + y1 ) ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 )
( xn + y2 ) ⋅ P ( X = xn ,Y = y2 )
+
( xn + ym ) ⋅ P ( X = xn ,Y = ym )
+
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In diesem Ausdruck können die Klammern ausmultipliziert werden:
E( X + Y) =
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y1 ) + y1 ⋅ P ( X = x1,Y = y1 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 ) + y 2 ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y 3 ) + y 3 ⋅ P ( X = x1,Y = y 3 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = ym ) + ym ⋅ P ( X = x1,Y = ym )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 ) + y1 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 2 ) + y 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 2 )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = ym ) + ym ⋅ P ( X = x 2 ,Y = ym )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 ) + y1 ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = y 2 ) + y 2 ⋅ P ( X = xn ,Y = y 2 )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = ym ) + ym ⋅ P ( X = xn ,Y = ym )
Die Summanden werden getrennt nach xi und yj:
E( X + Y) =
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y1 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y3 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = ym )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 2 )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = ym )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = y 2 )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = ym )
+
y1 ⋅ P ( X = x1,Y = y1 )
+
y 2 ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 )
+
y 3 ⋅ P ( X = x1,Y = y3 )
+
ym ⋅ P ( X = x1,Y = ym )
+
y1 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 )
+
y 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 2 )
+
ym ⋅ P ( X = x 2 ,Y = ym )
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+
y1 ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 )
+
y 2 ⋅ P ( X = xn ,Y = y 2 )
+
ym ⋅ P ( X = xn ,Y = ym )
Die Summanden, die yj enthalten, werden nach y1, y2, y3 usw. sortiert:
E( X + Y) =
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y1 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = y3 )
+
x1 ⋅ P ( X = x1,Y = ym )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 2 )
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = ym )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = y 2 )
+
xn ⋅ P ( X = xn ,Y = ym )
+
y1 ⋅ P ( X = x1,Y = y1 )
+
y1 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y1 )
+
y1 ⋅ P ( X = xn ,Y = y1 )
+
y 2 ⋅ P ( X = x1,Y = y 2 )
+
y 2 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 2 )
+
y 2 ⋅ P ( X = xn ,Y = y 2 )
+
y 3 ⋅ P ( X = x1,Y = y3 )
+
y 3 ⋅ P ( X = x 2 ,Y = y 3 )
+
y 3 ⋅ P ( X = xn ,Y = y 3 )
+
ym ⋅ P ( X = x1,Y = ym )
+
ym ⋅ P ( X = x 2 ,Y = ym )
+
ym ⋅ P ( X = xn ,Y = ym )
Hieraus können jeweils xi und yj mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ausgeklammert werden:
E( X + Y) =
x1 ⋅ P ( X = x1 ) ⋅ ⎡⎣P ( Y = y1 ) + P ( Y = y 2 )… + P ( Y = y m ) ⎤⎦
+
x 2 ⋅ P ( X = x 2 ) ⋅ ⎡⎣P ( Y = y1 ) + P ( Y = y 2 )… + P ( Y = y m ) ⎤⎦
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+
x n ⋅ P ( X = x n ) ⋅ ⎡⎣P ( Y = y1 ) + P ( Y = y 2 )… + P ( Y = y m ) ⎤⎦
+
y1 ⋅ P ( Y = y1 ) ⋅ ⎡⎣P ( X = x1 ) + P ( X = x 2 )… + P ( X = x n ) ⎤⎦
+
y 2 ⋅ P ( Y = y 2 ) ⋅ ⎡⎣P ( X = x1 ) + P ( X = x 2 )… + P ( X = x n ) ⎤⎦
+
y m ⋅ P ( Y = y m ) ⋅ ⎡⎣P ( X = x1 ) + P ( X = x 2 )… + P ( X = x n ) ⎤⎦
Nun gilt
P ( X = x1 ) + P ( X = x 2 )… + P ( X = xn ) = ∑ P ( X = xi ) = 1
i
und
P ( Y = y1 ) + P ( Y = y 2 ) … + P ( Y = y m ) =
∑P(Y = y ) = 1
j
j
Die eckigen Klammern in obigem Ausdruck lassen sich also sämtlich durch 1 ersetzen, sodass:
E( X + Y) =
x1 ⋅ P ( X = x1 )
+
x2 ⋅ P ( X = x2 )
+
xn ⋅ P ( X = xn )
+
y1 ⋅ P ( Y = y1 )
+
y2 ⋅ P ( Y = y2 )
+
ym ⋅ P ( Y = ym )
Dies lässt sich auch folgendermaßen formulieren:
E ( X + Y ) = ∑ xi ⋅ P ( X = xi ) + ∑ y j ⋅ P ( Y = y j )
i
j
Hierin Gleichung (1) und Gleichung (2) eingesetzt:
E ( X + Y ) = E ( X) + E ( Y )
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