Blatt 6

Seminar zur Vorlesung Physikalische Chemie II
Wintersemester 2015/2016
Prof. Dr. Timo Jacob, Institut für Elektrochemie
Übungsblatt 06, Aufgaben 24-27
Seminarwoche 23.-26. November 2015
Aufgabe 24 – Quantenmechanische Aufgaben
Der Formalismus der Quantenmechanik ist zunächst für viele Studierende ungewohnt. Das
Bearbeiten von einfachen Aufgaben erleichtert den Einstieg in der Regel. Solche Aufgaben
(Diskussionsfragen und Leichte Aufgaben) sind z.B. zu finden in Atkins, De Paula, Physikalische
Chemie, Wiley VCH.
Im Seminar zur Vorlesung PC2 werden oft schwierigere Aufgaben diskutiert. Dabei ist zu
beachten, dass die Mathematik nicht Hauptgegenstand, sondern ein sehr gutes Hilfsmittel in der
physikalischen Chemie ist. Die zur Verfügung gestellten Lösungshinweise beinhalten manchmal
nur Rechenschritte. Alles Weitere/Wichtige soll im Seminar diskutiert werden.
Es bietet sich immer an, vor und nach dem Rechnen zu überlegen, was die grundlegenden
physikochemischen Gedanken und Schlussfolgerungen sind. Die qualitativen Überlegungen
lassen sich mithilfe der Mathematik quantifizieren.
Bitte
vergewissern
Sie
sich
bei
den
bisherigen
Aufgaben,
ob
Sie
die
jeweiligen
quantenmechanischen Grundlagen verstanden haben und das Ergebnis einer Rechnung immer
deuten können.
Aufgabe 25 – Rotation eines starren 2atomigen Moleküls
a) Wie ist ein starrer Rotator mit raumfester Achse definiert?
b) Die stationäre Schrödinger-Gleichung für einen starren Rotator der Masse m lautet
 2 d 2 (s )
 E (s ) . Hierbei gibt die Variable s die Position auf einer Kreisbahn mit dem
2m ds 2
Radius r an. Zeigen Sie, dass man mit s  r  auch schreiben kann:
 2 d 2 ( )
 E ( )
2mr 2 d 2
c) Zwei Massen, m1 und m2, bewegen sich auf einer Ebene und sind durch eine masselose
Achse starr miteinander verbunden. Der Schwerpunkt sei in Ruhe. Damit haben wir ein
einfaches Modell für die Rotation eines 2atomigen Moleküls.
1
Wir arbeiten mit der reduzierten Masse
m1m2
1
1
1
bzw. µ 


µ m1 m2
m1  m2
Für das Trägheitsmoment gilt I  µR 2 . R ist der Abstand der beiden Massen.
Es gibt zwei Grenzfälle:
m1 m2 m m1  m2

 
2
2
4
4
(i)
m1 = m2: Dann ist R  2r und µ 
(ii)
m1 >> m2: Dann ist R  r und µ  m2
Gehen Sie von der stationären Schrödinger-Gleichung
 2 d 2 ( )
 E ( ) aus und
2 µR 2 d 2
überzeugen Sie sich von den wichtigsten Überlegungen, die zu den Energieeigenwerten
und zu den normierten Eigenfunktionen führen.
d) Berechnen Sie L̂2    
2
2
   und bestimmen Sie die Eigenwerte des Operators
 2
für das Quadrat des Drehimpulses des starren Rotators.
e) Wie groß ist der Erwartungswert für den Drehimpuls für m  0 ?
f) Wie groß ist der Erwartungswert des Drehimpulses für einen Zustand der Energie
E
m2
2I
2
mit m  0 ?
In diesem Fall gilt allgemein  ( )  c1
1
2
eim  c2
1
2
e  im .
Normieren Sie diese Linearkombination und berechnen Sie den Erwartungswert für L̂ .
Aufgabe 26 – Kommutator
Zeigen Sie, dass Lˆx , Lˆy   i Lˆz .
Was bedeutet das Ergebnis?
Aufgabe 27 – Anregung von -Elektronen
Schätzen Sie mithilfe der Modelle „Teilchen im 1dim Kasten“ und „Teilchen auf dem Ring“ ab, ob
die kleinste elektronische Anregung HOMO-LUMO bei 1,3,5-Hexatrien (linear) oder bei Benzol
(kreisförmig) mehr Energie erfordert. Der mittlere C-C-Abstand sei R.
Hinweis: EKasten 
n 2h2
8mea
;
2
ERing 
m2
2
2meR 2
mit m  0,  1,  2,  3...
Im elektronischen Grundzustand besetzen jeweils 6 Elektronen die untersten Zustände nach dem
Pauli-Prinzip.
Dr. Ludwig Kibler, 18. November 2015, [email protected]
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