Stochastik I Erwartungswert Eine Aussage über die Zukunft 1 Beispiel 1 - Gewinnspiel Würfelspiel X: Gewinn in € Gewinnplan: Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Gewinn 1€ -2 € 0€ -2 € 1€ 3€ 2 10-malige Durchführung Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Gewinn 1€ -2 € 0€ -2 € 1€ 3€ Absolute Häufigkeit 2 3 2 1 1 1 Relative Häufigkeit 2 10 3 10 2 10 1 10 1 10 1 10 3 Durchschnittlicher Gewinn pro Spiel Arithmetisches Mittel (durchschnittlicher Gewinn pro Spiel): x 1€ 2 3 2 1 1 1 (2€) 0€ (2€) 1€ 3€ 0,20€ 10 10 10 10 10 10 Verkürzt: Gewinn Relative Häufigkeit x (2€) -2 € 0 € 4 10 2 10 1€ 3€ 3 10 1 10 4 2 3 1 0€ 1€ 3€ 0,20€ 10 10 10 10 4 Vergangenheit -> Zukunft Arithmetisches Mittel macht eine Aussage über die Vergangenheit. Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft machen? ZU ERWARTENDER (DURCHSCHNITTLICHER) GEWINN PRO SPIEL 5 Erwartungswert Xi in € -2 0 1 3 P(X=xi) 2 6 1 6 2 6 1 6 Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Gewinn 1€ -2 € 0€ -2 € 1€ 3€ 2 1 2 1 1 E(X) = 2 0 1 3 0,17 6 6 6 6 6 Bei sehr vielen Spielen kann man mit einem durchschnittlichen Gewinn von 0,17€ pro Spiel rechnen. 6 Erwartungswert E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn) Statt E(X) schreibt man auch μ. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist. 7 Stochastik II Binomialverteilte Zufallsvariablen Bernoulli-Experimente 8 Bernoulli-Experiment Was ist das? Ein Bernoulli-Experiment ist – ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen ODER – ein Experiment, das als Experiment mit nur zwei Ergebnissen interpretierbar ist. 9 Bernoulli-Experiment Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten aus? Wahrscheinlichkeit für Treffer: p Wahrscheinlichkeit für Niete: 1-p 10 Bernoulli-Experiment Beispiel: – Werfen eines Würfels: Ergebnisse: „6“ (Treffer) oder „Keine 6“ (Niete) – Wahrscheinlichkeiten: P(„6“)=1/6 P(„Keine 6“)=1-(1/6)=5/6 11 Bernoulli-Kette Was ist das? – Besteht ein Zufallsexperiment aus einem mehrfach durchgeführten BernoulliExperiment, so nennt man es BernoulliKette. – Wird es n-mal durchgeführt, heißt es Bernoulli-Kette der Länge n. – Darstellung als Baumdiagramm möglich 12 Bernoulli-Ketten Beispiel: Werbung: Figur in jedem siebten Ü-Ei Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Eiern genau eine Figur zu erhalten? 13 Bernoulli-Ketten 1 7 1 7 1 7 6 7 6 7 1 7 6 7 6 7 1 7 6 7 1 7 Zur Wahrscheinlichkeit für genau eine Figur gehören die folgenden drei Pfade 1 6 6 36 P(FNN)= 7 7 7 343 P(NFN)= 7 7 7 343 6 1 6 36 P(NNF)= 6 6 1 7 7 7 6 7 1 7 6 7 36 36 36 343 P(„1F“)= 343 343 3 36 343 36 343 108 343 Anzahl der Pfade 14 Bernoulli-Ketten Problem – Für größere n (z.B. n=10) sehr aufwendig und unübersichtlich! Lösung – – Einführung einer Zufallsvariable Benutzen der Binomialkoeffizienten 15 Erweitertes Beispiel Kauf von 10 Ü-Eiern Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figuren n=10 X: Anzahl der Treffer bzw. der Figuren, X=4 1 1 6 p= , 1-p= 1 7 7 10 1 6 0,035 4 7 7 4 P(X=4)= 7 6 16 Bernoulli-Ketten Zufallsvariable – X: Anzahl der Treffer in n Versuchen Binomialkoeffizienten – Anzahl der Möglichkeiten k Treffer in n Versuchen anzuordnen n k Wahrscheinlichkeiten – – Trefferwahrscheinlichkeit p Nietenwahrscheinlichkeit 1-p 17 Formel von Bernoulli P(X=k)= n p 1-p P(X=k) n k p 1 p n k k Versuchswiederholungen Trefferwahrscheinlichkeit Nietenwahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit für k Treffer 18 Beispiel: Tierarzt Ein Tierarzt behandelt 20 kranke Tiere mit einem Medikament, das in 80% zur Heilung führen soll. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 19 Tiere geheilt werden? P(X≥19)= 20 20 19 1 0,8 0,2 0,820 0,20 0,069 19 20 19 Erwartungswert Erwartungswert für die Anzahl der geheilten Tiere? Allgemeine Formel: E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn) Hier gilt: 20 20 20 0 20 1 19 20 0 E(X)= 0 0,8 0,2 1 0,8 0,2 ... 20 0,8 0,2 0 1 20 Einfachere Berechnung: E(X) = 20 - 80% = 16 20 Erwartungswert bei einer Bernoulli-Kette E(X) = n - p - - n p E(X) Länge der Bernoulli-Kette Trefferwahrscheinlichkeit Erwartungswert für die Zufallsvariable X 21