1-p - Mossakowski

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Stochastik I
Erwartungswert
Eine Aussage über die Zukunft
1
Beispiel 1 - Gewinnspiel



Würfelspiel
X: Gewinn in €
Gewinnplan:
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Gewinn
1€
-2 €
0€
-2 €
1€
3€
2
10-malige Durchführung
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Gewinn
1€
-2 €
0€
-2 €
1€
3€
Absolute
Häufigkeit
2
3
2
1
1
1
Relative
Häufigkeit
2
10
3
10
2
10
1
10
1
10
1
10
3
Durchschnittlicher
Gewinn pro Spiel

Arithmetisches Mittel
(durchschnittlicher Gewinn pro Spiel):
x  1€ 
2
3
2
1
1
1
 (2€)   0€   (2€)   1€   3€    0,20€
10
10
10
10
10
10
Verkürzt:
Gewinn
Relative
Häufigkeit
x  (2€) 
-2 € 0 €
4
10
2
10
1€
3€
3
10
1
10
4
2
3
1
 0€   1€   3€   0,20€
10
10
10
10
4
Vergangenheit -> Zukunft


Arithmetisches Mittel
macht eine Aussage über die Vergangenheit.
Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft
machen?
ZU ERWARTENDER (DURCHSCHNITTLICHER)
GEWINN PRO SPIEL
5
Erwartungswert
Xi in €
-2
0
1
3
P(X=xi)
2
6
1
6
2
6
1
6
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Gewinn
1€
-2 €
0€
-2 €
1€
3€
2
1
2
1 1
E(X) =  2   0   1  3    0,17
6
6
6
6 6
Bei sehr vielen Spielen kann man mit
einem durchschnittlichen Gewinn von
0,17€ pro Spiel rechnen.
6
Erwartungswert
E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn)


Statt E(X) schreibt man auch μ.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert
des Gewinns für jeden Spieler 0 ist.
7
Stochastik II
Binomialverteilte Zufallsvariablen
Bernoulli-Experimente
8
Bernoulli-Experiment

Was ist das?
Ein Bernoulli-Experiment ist
– ein Zufallsexperiment mit nur zwei
Ergebnissen
ODER
– ein Experiment, das als Experiment mit
nur zwei Ergebnissen interpretierbar ist.
9
Bernoulli-Experiment

Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten
aus?
Wahrscheinlichkeit für Treffer:
p
Wahrscheinlichkeit für Niete:
1-p
10
Bernoulli-Experiment

Beispiel:
– Werfen eines Würfels:
Ergebnisse:
„6“ (Treffer) oder „Keine 6“ (Niete)
– Wahrscheinlichkeiten:
P(„6“)=1/6
P(„Keine 6“)=1-(1/6)=5/6
11
Bernoulli-Kette

Was ist das?
– Besteht ein Zufallsexperiment aus einem
mehrfach durchgeführten BernoulliExperiment, so nennt man es BernoulliKette.
– Wird es n-mal durchgeführt, heißt es
Bernoulli-Kette der Länge n.
– Darstellung als Baumdiagramm möglich
12
Bernoulli-Ketten

Beispiel:
Werbung: Figur in jedem siebten Ü-Ei
Wie wahrscheinlich ist es, bei drei
Eiern genau eine Figur zu erhalten?
13
Bernoulli-Ketten
1
7
1
7
1
7
6
7
6
7
1
7
6
7
6
7
1
7
6
7
1
7
Zur Wahrscheinlichkeit
für genau eine Figur
gehören die folgenden
drei Pfade
1 6 6
36
P(FNN)= 7  7  7  343
P(NFN)= 7  7  7  343
6 1 6
36
P(NNF)= 6  6  1 
7 7 7
6
7
1
7
6
7
36
36
36
343
P(„1F“)= 343  343
 3
36
343


36
343
108
343
Anzahl der Pfade
14
Bernoulli-Ketten
Problem

–
Für größere n (z.B. n=10) sehr
aufwendig und unübersichtlich!
Lösung

–
–
Einführung einer Zufallsvariable
Benutzen der Binomialkoeffizienten
15
Erweitertes Beispiel


Kauf von 10 Ü-Eiern
Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figuren
n=10
X: Anzahl der Treffer bzw. der Figuren, X=4
1
1 6
p=
,
1-p= 1  
7
7
10   1   6 
         0,035
4   7   7 
4
P(X=4)=
7
6
16
Bernoulli-Ketten
Zufallsvariable

–
X: Anzahl der Treffer in n Versuchen
Binomialkoeffizienten

–
Anzahl der Möglichkeiten k Treffer in n Versuchen
anzuordnen  n 
k 
Wahrscheinlichkeiten

–
–
Trefferwahrscheinlichkeit p
Nietenwahrscheinlichkeit 1-p
17
Formel von Bernoulli
P(X=k)=




n
p
1-p
P(X=k)
n k
   p  1  p n  k
k 
Versuchswiederholungen
Trefferwahrscheinlichkeit
Nietenwahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für k Treffer
18
Beispiel: Tierarzt

Ein Tierarzt behandelt 20 kranke Tiere mit
einem Medikament, das in 80% zur
Heilung führen soll.
Wie wahrscheinlich ist es, dass
mindestens 19 Tiere geheilt werden?
P(X≥19)=
 20 
 20 
19
1
   0,8  0,2     0,820  0,20  0,069
19 
 20 
19
Erwartungswert


Erwartungswert für die Anzahl der geheilten
Tiere?
Allgemeine Formel:
E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn)

Hier gilt:
 20 
 20 
 20 
0
20
1
19
20
0
E(X)= 0     0,8  0,2  1    0,8  0,2  ...  20     0,8  0,2
0 
1 
 20 
Einfachere Berechnung:
E(X) = 20 - 80% = 16
20
Erwartungswert bei einer
Bernoulli-Kette
E(X) = n - p
-
-
n
p
E(X)
Länge der Bernoulli-Kette
Trefferwahrscheinlichkeit
Erwartungswert für die
Zufallsvariable X
21
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