Erwartungswert und Standardabweichung Erwartungswert Varianz

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Standardabweichung
Erwartungswert und Standardabweichung
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Erwartungswert
Erklärung
Unter dem Erwartungswert versteht man eine Kenngröße, die beschreibt, wie viele mögliche
Treffer bei einem durchgeführten Zufallsexperiment erwartet werden können. Ist die betrachtete
Zufallvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p, so kannst du den Erwartungswert
E(X ) folgendermaßen berechnen:
E(X ) = n
⋅
p
Beispiel
Ein Bernoulli-Experiment wird 9-mal durchgeführt, mit einer Wahrscheinlichkeit von
p =
1
3
wird
ein Treffer erzielt. Sei Z die Zufallsvariable, die die Anzahl der Treffer beschreibt. Wie viele Treffer
können hier erwartet werden?
Gesucht ist der Erwartungswert
E(Z )
. Setze dazu die gegebenen Angaben
n = 9
und
p =
1
3
in
die Definition des Erwartungswertes ein und berechne:
E(Z ) = n
⋅
p = 9
⋅
1
3
=
9
3
= 3
Es können 3 Treffer erwartet werden.
Varianz und Standardabweichung
Erklärung
Die Varianz V einer Zufallsvariable Z ist ein Maß für die Abweichung von ihrem Erwartungswert
E(Z ) . Sie ist größer oder gleich Null und ist für binomialverteilte Zufallsvariablen wie folgt
definiert:
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1 von 2
V (X ) = n
⋅ ⋅ −
p
(1
p)
Die Standardabweichung σ wird für binomialverteilte Zufallsvariablen wie folgt definiert:
σ =
√⋅ ⋅ −
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p)
Beispiel
Ein Bernoulli-Experiment wird 9-mal durchgeführt, mit einer Wahrscheinlichkeit von
p =
1
3
wird
ein Treffer erzielt. Sei Z die Zufallsvariable, die die Anzahl der Treffer beschreibt. Berechne die
Standardabweichung σ.
Du hast im Text alle Angaben gegeben mit n
σ =
√⋅ ⋅ −
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
⋅ ⋅
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
9
√
1
2
3
3
Die Standardabweichung beträgt σ
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=
= 9
und p
⎯⎯⎯⎯
=
√
18
√
9
=
√
=
1
3
. Setze diese ein und berechne:
⎯⎯
2
⎯⎯
2
.
2 von 2