9 Beurteilende Statistik 9.1 Testen einer Hypothese

Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 10 / 11
Februar 2011
9 Beurteilende Statistik
9.1 Testen einer Hypothese
Beispiel „Aufstrich“ (s. Arbeitsblatt „Aufstrich“).
In der Praxis geht man meistens etwas anders als im Beispiel „Aufstrich“ vor:
Man gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit vor, z. B. sind häufige Werte α = 0,05 (oder 0,01) und
bestimmt den Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
Erwartungswert einer Zufallsvariablen X:
X nehme die Werte x1 . .. xn mit den Wahrscheinlichkeiten p1 ... pn an.
E(X) = x1p1 + ... + xnpn.
Da p1 + ... + pn = 1 gilt, kann man den Erwartungswert als einen gewichteten Mittelwert
interpretieren.
Bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen X ist
p = p1 = ... = pn und x1 = x2 = ... = xn = 1.
Somit ist E(X) = np (man schreibt dann auch µ = np).
Varianz und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariablen X:
Varianz σ²:
σ² = npq
Standardabweichung:
σ
=
mit q = 1 – p.
 npq
Bedeutung von σ : ( σ- Regeln):
P( µ - σ ≤ X ≤ µ + σ )
P( µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ )
P( µ - 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ )
≈ 0,68
≈ 0,955
≈ 0,997
Die Näherung ist umso besser, je größer n ist.
(1σ - Regel)
(2σ - Regel)
(3σ – Regel)
In der Regel verlangt man σ > 3.
Ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert µ
gegeben, so interessiert man sich für das Intervall um µ, in dem die Werte
von X mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegen. Es gilt:
Die W., dass die Werte von X im I. [µ – 1,64σ; µ + 1,64σ ] liegen, ist etwa 0,9
Die W., dass die Werte von X im I. [µ – 1,96σ; µ + 1,96σ ] liegen, ist etwa 0,95
Die W., dass die Werte von X im I. [µ – 2,58σ; µ + 2,58σ ] liegen, ist etwa 0,99.
Das Signifikanzniveau ist in den drei Fällen 0,1, 0,05 bzw. 0,01.
Beispiel:
Ein defekter Parkscheinautomat eines Parkhauses codiert ca. 20% aller
Parkkarten so falsch, dass eine Ausfahrt nicht möglich ist. An einem
Samstagvormittag möchten zwischen 9.30 Uhr und 10 Uhr 100 Autofahrer
mit ihren Autos das Parkhaus verlassen. Schätzen Sie ab, wie viele dieser
PKW-Fahrer mit einer W. Von 0,99 entsprechende Probleme bei der
Ausfahrt bekommen.
Lösung:
X gibt die Anzahl der falsch codierten Parkkarten an.
Nachprüfung ob 100 „groß genug“ ist:
Die Standardabweichung der Zufallsvariablen muss > 3 sein! σ = 4 > 3!
Erwartungswert von X ist 20.
Signifikanzniveau ist 0,01. Daher liegen 99% aller Werte von X im Intervall [20 – 2,58⋅4; 20 + 2,58⋅4],
in [9,68; 30,32].
also sind bei einem Signifikanzniveau von 1% bei einer Zahl von Fahrzeugen, die zwischen 10 und 30
liegt, Probleme bei der Ausfahrt zu erwarten.
9.2 Stetige Dichteverteilungen
Beispiel: Regen auf Kreisfläche
Der Kreisring mit Breite 1 und mittlerem Radius x entspricht dem Flächtenanteil an der gesamten
Kreisfläche. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand X der Regentropfen im
Intervall [x - 0,5; x + 0.5] liegt, gleich 0,02x ist.
Untersucht man die W. P(a X b), so gilt:
b
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ 0,02 x dx
= 0,01b²−a²  =
b²−a² 
100
Dies entspricht dem Flächenanteil des Kreisrings mit dem inneren Radius a und dem äußeren
Radius b.
a
Theorie und Experiment:
Ein Vergleich mit dem GTR:
Mit dem GTR werden 100 gleichmäßig verteilte Zufallszahlen im Intervall [0;1] erzeugt. Die Dichte
dieser Verteilung ist gleich 1.
a) Bestimme den (theoretischen) Mittelwert m und die (theoretische) Standardabweichung s.
b) Erzeuge mit dem GTR 100 Zufallszahlen, deren Erwartungswert und die Standardabweichung.
Gaußsche Glockenfunktion:
2
ϕµ,σ (x) =
1
⋅e
⋅ 2 
x−
2 2
Interessante Internetadressen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik:
Wahrscheinlichkeitsrechnung – Binomialverteilung
Das Ziegenproblem
http://www.jgiesen.de/javascript/Beispiele/Ziegenproblem/Ziegen.html
http://viles.zef.uni-oldenburg.de/public/viles2/wahrscheinlichkeit/ziege.html
Gero von Randow: „Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten“
http://www.jbg-miltenberg.de/faecher/mathe/ziegenproblem.html
Lösung dieses und anderer interessanter Probleme
http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/meinproblem.html
http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/
e-Lisa LinkExpress (Un-)Wahrscheinlichkeiten
http://www.e-lisa.at/linkexpress/archiv/2004/040415.asp
Klasse 8
Leitprogramm Testen von Hypothesen
http://www.educeth.ch/mathematik/leitprog/testen/