Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung II [E(X), V(X)]
Werbung
Lindner Seite 1 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung II [E(X), V(X)] 1. Auf einem Kirtag wird bei einem Stand ein Glücksrad einmal gedreht, wobei die zu erwartenden Gewinne außen am Rad ersichtlich sind. Die Zufallsvariable X gibt jeweils den Gewinn an. a) Stelle eine Wahrsch.tabelle (Wertetabelle) für die Zufallsvariable X auf! 1 b) Stelle die Tabelle in einem Stabdiagramm und einem Histogramm dar! c) Welchen Gewinn darf sich ein Spieler bei diesem Glücksrad erwarten? d) Welchen Einsatz sollte der Betreiber dieses Glücksspiels verlangen, damit er auf lange Sicht damit sicher einen Gewinn macht? ( c) 1,83; d) mind.2,- ) 3 1/6 4 1/12 1/2 1/4 2 2. Nun wird dasselbe Glücksrad zweimal gedreht. Aufgabe wie unter 1). ( c) 5,83, d) 6 ) 3. Berechne für dieses Zufallsexperiment (zweimaliges Drehen des Glücksrades) die Varianz und die Standardabweichung! (5,83; 1,776) 4. Ein Besucher des Kirtags kommt mit dem Glücksradbesitzer ins Diskutieren. Er würde gerne wissen, beim wievielten Drehen des Rades im Schnitt der Zeiger zum ersten Mal auf den Gewinn 2 zeigt. Berechne, a) näherungsweise b) genau, wann dies auftritt! (4) ∞ 1 (Hinweis zu b): k . x k −1 = 0. x −1 + 1. x 0 + 2. x + 3. x 2 + 4. x 3 + ... = ) (1 − x ) 2 k =0 ∑ 5. Variante zu 4 - Mensch ärgere Dich nicht: Wie lange dauert es im Schnitt, bis man beim Würfeln einen 6er hat? Stelle dazu eine Wahrscheinlichkeitstabelle und ein Stabdiagramm dar! Kann es auch sein, dass man „unendlich lange“ würfeln muss, bis ein 6er kommt? 6. Für einen Ischler Brauchtumsschützen beträgt die Wahrscheinlichkeit ein Ziel („Plattl“) zu treffen 40%. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei 5 Schüssen (1) weniger als 3; (2) genau 3; (3) mehr als 3; (4) höchstens 3; (5) mindestens 3 Treffer erzielt? b) Beschreibe die Verteilung der Zufallsvariablen X sowohl mittels einer Wertetabelle als auch durch die Graphen (1) der Wahrscheinlichkeitsfunktion f, (2) der Verteilungsfunktion F. c) (1) Gib die Wahrscheinlichkeit für die Trefferfolge 10101 bzw. 01011 (1 Treffer, 0 kein Treffer) an. (2) Wie viele Trefferfolgen sind möglich? (Kefer, Matura 99) 7. Für einen Schuss auf eine Zielscheibe mit 3 Feldern erhält man 10 Punkte für einen Treffer im Zentrum, 5 Punkte für den Mittelring und 3 Punkte für den Außenring (Radien 1 : 3 : 5). Man trifft im Mittel die Scheibe bei jedem 2 Schuss, und dann sind die Treffer auf der Scheibe zufällig verteilt. Welche Punktezahl ist pro Schuss zu erwarten? Wie stark weichen die Treffer von diesem Mittelwert ab? (1,96; ) 8. Aus einer Urne mit 4 nummerierten gezogen, und die Zufallsvariable X 4 Zeichne einen 1 2 3 Wahrscheinlichkeitsfunktion durch Erwartungswert und Standardabweichung! (5; 1,29) Kugeln 1, 2, 3, 4 wird zweimal ohne Zurücklegen als Summe der beiden Nummern betrachtet. Wahrscheinlichkeitsbaum und stelle die Wertetabelle und Histogramm auf. Bestimme 9. Setzt man beim Roulette (Zahlen 0 bis 36) einen Jeton auf eine bestimmte Zahl, so erhält man im Gewinnfall den 36fachen Einsatz, also 36 Jetons (dh. der Gewinn sind 35 Jetons). Verliert man, so ist der Einsatz von einem Jeton dahin. Berechne den zu erwartenden Gewinn und die Varianz beim Roulette, wenn man stets nur auf einzelne Zahlen setzt! (-1/37; 34,08) 10. Bei einem Maturaball werden 300 Lose verkauft, wovon 150 Nieten sind. Bei 100 Losen gibt es einen Preis im Wert von 20,-, bei 40 Losen einen Preis um 50,- , bei 9 Losen einen Preis um 80,- , und der Haupttreffer bringt einen Preis im Wert von 1.000,- . Berechne Erwartungswert und Varianz des Preises! (19,07; 3628)
