41 Bernoulli-Kette 1 Definition und Wahrscheinlichkeit Jedes beliebige Zufallsexperiment kann zu einem Experiment mit zwei Ergebnissen gemacht werden, wenn man bei der Ausführung nur fragt, ob ein bestimmtes Ereignis E eingetreten ist (Treffer T) oder nicht (Niete N), d. h. Ω = {T, N} = {1, 0}. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bezeichnen wir mit P(T) = p und für eine Niete mit P(N) = 1 – p. Solche Zufallsexperimente haben einen eigenen Namen: Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn sein Ergebnisraum nur zwei Ergebnisse enthält. Ein Tetraeder mit den Seiten 1, 2, 3, 4 wird einmal geworfen. Das Werfen des Tetraeders wird zu einem Bernoulli-Experiment, wenn man z. B. fragt, ob eine 4 geworfen wurde oder nicht. Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander ausgeführt wird definiert man: Bernoulli-Kette Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen eines Bernoulli-Experiments besteht, heißt BernoulliKette der Länge n oder eine n-stufige Bernoulli-Kette. Der Wert p der Wahrscheinlichkeit für einen Treffer heißt Parameter der Bernoulli-Kette. 42 Bernoulli-Kette Wenn eine Bernoulli-Kette der Länge n genau k Treffer besitzt, dann besitzt sie auch genau n – k Nieten. Da die Ausführungen des Bernoulli-Experiments unabhängig voneinander erfolgen, gilt die Produktregel, d. h. die Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert. Es gilt: Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses In einer Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Parameter p hat jedes Ergebnis ω mit k Treffern und n-k Nieten die Wahrscheinlichkeit P({ω}) = p k ⋅ (1 − p) n − k , k = 0, 1, ... n unabhängig davon, an welcher Stelle des n-Tupels die k Treffer stehen. Ein Blumensamen keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Beate steckt zehn Blumensamen in einer Reihe in ein Blumenbeet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit keimen nur der zweite und der sechste der Samen nicht? Lösung: Es gilt: P({ω}) = 0,908 · 0,102 = 0,43 %, weil acht der Samen keimen und zwei nicht. Da man die k Treffer in einem solchen Ergebnis-n-Tupel auf Plätze verteilen kann, gibt es ( nk ) ( nk ) solche n-Tupel mit k Treffern. Es gilt: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Für die Wahrscheinlichkeit, in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Parameter p genau k Treffer zu erzielen, gilt: P(Z = k) = nk ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (0 ≤ k ≤ n) () unabhängig davon, an welcher Stelle des n-Tupels die k Treffer stehen.