Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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Bernoulli-Kette
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Definition und Wahrscheinlichkeit
Jedes beliebige Zufallsexperiment kann zu einem Experiment
mit zwei Ergebnissen gemacht werden, wenn man bei der Ausführung nur fragt, ob ein bestimmtes Ereignis E eingetreten ist
(Treffer T) oder nicht (Niete N), d. h. Ω = {T, N} = {1, 0}. Die
Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bezeichnen wir mit
P(T) = p und für eine Niete mit P(N) = 1 – p. Solche Zufallsexperimente haben einen eigenen Namen:
Bernoulli-Experiment
Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn
sein Ergebnisraum nur zwei Ergebnisse enthält.
Ein Tetraeder mit den Seiten 1, 2, 3, 4 wird einmal geworfen.
Das Werfen des Tetraeders wird zu einem Bernoulli-Experiment, wenn man z. B. fragt, ob eine 4 geworfen wurde oder
nicht.
Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander ausgeführt wird definiert man:
Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen eines Bernoulli-Experiments besteht, heißt BernoulliKette der Länge n oder eine n-stufige Bernoulli-Kette. Der
Wert p der Wahrscheinlichkeit für einen Treffer heißt Parameter der Bernoulli-Kette.
42 Bernoulli-Kette
Wenn eine Bernoulli-Kette der Länge n genau k Treffer besitzt,
dann besitzt sie auch genau n – k Nieten. Da die Ausführungen
des Bernoulli-Experiments unabhängig voneinander erfolgen,
gilt die Produktregel, d. h. die Wahrscheinlichkeiten werden
multipliziert. Es gilt:
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
In einer Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Parameter p
hat jedes Ergebnis ω mit k Treffern und n-k Nieten die
Wahrscheinlichkeit
P({ω}) = p k ⋅ (1 − p) n − k , k = 0, 1, ... n
unabhängig davon, an welcher Stelle des n-Tupels die k
Treffer stehen.
Ein Blumensamen keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 %. Beate steckt zehn Blumensamen in einer Reihe in ein
Blumenbeet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit keimen nur der
zweite und der sechste der Samen nicht?
Lösung:
Es gilt: P({ω}) = 0,908 · 0,102 = 0,43 %, weil acht der Samen
keimen und zwei nicht.
Da man die k Treffer in einem solchen Ergebnis-n-Tupel auf
Plätze verteilen kann, gibt es
( nk )
( nk ) solche n-Tupel mit k Treffern.
Es gilt:
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Für die Wahrscheinlichkeit, in einer Bernoulli-Kette der
Länge n mit dem Parameter p genau k Treffer zu erzielen,
gilt:
P(Z = k) = nk ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (0 ≤ k ≤ n)
()
unabhängig davon, an welcher Stelle des n-Tupels die k
Treffer stehen.