11 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

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11 Bernoulli-Kette und
Binomialverteilung
11.1 Definition und Bernoulli-Formel
Jedes beliebige Zufallsexperiment kann zu einem Experiment
mit zwei Ergebnissen gemacht werden, wenn man bei der Ausführung nur fragt, ob ein bestimmtes Ereignis E eingetreten ist
(Treffer T) oder nicht (Niete N), d. h., der Ergebnisraum des
Zufallsexperiments kann vergröbert werden in der Form
Ω = {T, N}. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bezeichnen wir mit P(T) = p und für eine Niete mit P(N) = q = 1 – p.
Solche Zufallsexperimente haben einen eigenen Namen:
Bernoulli-Experiment
Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn
sein Ergebnisraum nur zwei Ergebnisse enthält.
Ein Tetraeder mit den Seiten 1, 2, 3, 4 wird einmal geworfen.
Das Werfen des Tetraeders wird zu einem Bernoulli-Experiment,
wenn man z. B. fragt, ob eine 4 geworfen wurde oder nicht.
Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander ausgeführt wird, definiert man:
Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen eines Bernoulli-Experiments besteht, heißt BernoulliKette der Länge n oder eine n-stufige Bernoulli-Kette.
Wenn eine Bernoulli-Kette der Länge n genau k Treffer besitzt,
dann besitzt sie auch genau n – k Nieten. Da die Ausführungen
des Bernoulli-Experiments unabhängig voneinander erfolgen,
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gilt die Produktregel, d. h., die Wahrscheinlichkeiten werden
multipliziert. Es gilt:
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
In einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p und der Nietenwahrscheinlichkeit q = 1 – p
hat jedes Ergebnis ω mit k Treffern und n – k Nieten die
Wahrscheinlichkeit
P({ω}) = pk ⋅ qn – k, k = 0, 1, …, n
unabhängig davon, an welcher Stelle des n-Tupels die
k Treffer stehen.
Ein Blumensamen keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 %. Beate steckt zehn Blumensamen in einer Reihe in ein
Blumenbeet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit keimen nur der
zweite und der sechste der Samen nicht?
Lösung:
Es gilt: n = 10, p = 0,9, q = 0,1 ⇒ P({ω}) = 0,98 ⋅ 0,12 ≈ 0,0043,
weil acht der Samen keimen und zwei nicht.
Da man die k Treffer in einem solchen Ergebnis-n-Tupel auf
n
k
 
Plätze verteilen kann, gibt es  nk  solche n-Tupel mit
 
k Treffern. Es gilt:
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Für die Wahrscheinlichkeit, in einer Bernoulli-Kette der
Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer
zu erzielen, gilt die Bernoulli-Formel
P(X = k) =  kn  ⋅ p k ⋅ q n − k (0 ≤ k ≤ n)
 
unabhängig davon, an welcher Stelle des n-Tupels die
k Treffer stehen.
Die Zufallsgröße X gibt bei einer Bernoulli-Kette in der
Regel die Anzahl der Treffer an.