Mathcad - S430Bernoulli-Ketten.

Eva Weißmüller 29.3.2005 S430Bernoulli-Ketten.mcd
Bernoulli-Experimente
Def.:
Ein Bernoulli-Experiment ist einZufallsexperiment, bei dem nur zwei
Elementarereignisse möglich sind, sich der Ergebnisraum also in der Form
Ω = { T; N } darstellen lässt.
Dabei gilt: P(T) + P(N) =1, T und N stellen also Ereignis und Gegenereignis dar.
p0 = 1 ; q0 = 1 ;
Bsp.:
Kartenspiel:
Augenzahl:
Elektrogerät:
p+q=1
Ω = {rot ; schwarz}
Ω = {gerade ; ungerade}
Ω = {funktioniert ; funktioniert nicht}
T = Treffer, N = Niete
Man spricht von einer Bernoulli-Kette der Länge n oder einem n-stufigen Bernoulli-Experiment, wenn
man ein Bernoulli-Experiment mehrmals (n-mal) ausführt und damit einen neuen Ergebnisraum mit
Tripeln, Paaren o.ä. erzeugt.
Ergebnisraum Ωn = Ωn = { T ; N}n
Def.:
n gleiche Bernoulli heißen voneinander unabhängig, wenn gilt:
P´({(X1 ; X2 ; X3 ;...; Xn)}) = P({X1}) * P({X2}) * P({X3})* ....* P({X n})
Ist dies nicht der Fall, heißen Bernpulli-Experimente voneinander abhängig.
Die Berechnung von Bernoulli-Ketten mit Hilfe des binmoischen Satzes
Satz:
Bei einem Bernoulli-Experiment sei p ∈ ] 0 ; 1[ die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.
Dann erzielt man bei der Durchführung einer Bernoulli-Kette der Länge n genau
k Treffer mit der Wahrscheinlichkeit:
B("genau k Treffer") = B(n ; p ; k) =
 n  k n−k
mit p + q = 1
 ⋅p ⋅q
k 
B(n ; p ; k) heißt "Wahrscheinlichkeit genau k Treffer zu erzielen bei einer
Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p."
Bsp.:
Urne mit weißen (=Treffer) und schwarzen (=Niete) Kugeln; 3 Züge mit Zurücklegen
Gesucht ist die Anzahl k der gezogenen weißen Kugeln (Wahrscheinlichkeit p für Treffer)
1.
Ergebnis des Experiments:
TTT
Anzahl der k Treffer:
3
Ergebnis des Experiments:
TTN
Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses: ppp = p3
zugeordnete Wahrscheinlichkeit B(k):
2.
Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses: ppq =
Anzahl der k Treffer:
3.
2
zugeordnete Wahrscheinlichkeit B(k):
3p2q
Ergebnis des Experiments:
TNN
Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses: pqq =
Anzahl der k Treffer:
4.
p3
1
zugeordnete Wahrscheinlichkeit B(k):
3pq2
Ergebnis des Experiments:
NNN
Anzahl der k Treffer:
0
p2q
pq 2
TNT
pqp =
2
NTN
qpq =
1
3pq2
Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses: qqq = q3
zugeordnete Wahrscheinlichkeit B(k):
q3
Die Wahrscheinlichkeiten erinnern an den binomischen Satz:
B( n ; p ; k) =
Binom. Satz:
3  3 0
 ⋅p q +
3 
n
( a + b) =
3  2 1 3  1 2 3  0 3
 p q +   p q +  p q
2 
1 
0 
n
∑
k =0
n−k
bk (n , k) ⋅ a
k
⋅b
p2q
pq 2
NTT
qpp = p2q
2
NNT
qqp = pq 2
1
3pq2