Binomialverteilung - Astrid Wilczynski

III Die Binomialverteilung
1. Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Versuch
Ein Bernoulli-Versuch ist ein Experiment mit genau zwei Ausgängen E (Treffer/Erfolg)
und E (Niete/Misserfolg).
Die Trefferwahrscheinlichkeit ist p = P(E).
Bernoulli-Kette der Länge n
Eine Bernoulli-Kette der Länge n ist die n-fache Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs
Formel von Bernoulli
Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit,
in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit einer
Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer zu
erzielen:
n
P(X = k) = B(n; p; k) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k
k
Binomialverteilung
k
0
1
2
3
4
P(X = k)
0,2401
0,4116
0,2646
0,0756
0,0081
P( X = k) = B(n;p;k)
Verteilung einer Zufallsgröße X, welche die Anzahl k der Treffer in einer Bernoulli-Kette der
Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p darstellt.
0,60
0,40
0,20
0,00
0
1
2
3
4
k
Kumulierte Binomialverteilung
Summe der Wahrscheinlichkeiten der Trefferzahlen 0, 1, …, k in einer Bernoulli-Kette
der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
P(X ≤ k) = F(n; p; k)
P(X ≤ k) = B(n; p; 0) + B(n; p;1) + ... + B(n; p; k )
Berechnung von Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten
P({genau k Treffer nach n Versuchen})
P({höchstens k Treffer nach n Versuchen})
P({mindestens k Treffer nach n Versuchen})
Intervallwahrscheinlichkeit
n
P(X = k) = B(n; p; k) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k
k
P(X ≤ k) = F(n; p; k) = B(n; p; 0) + ... + B(n; p; k)
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) = 1 − F(n; p; k − 1)
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1)
Binomialkoeffizienten
Der Binomialkoeffizient „n über k“ gibt die
Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Elementen k Elemente auszuwählen, wobei es auf
die Reihenfolge nicht ankommt.
n
n!
, 0≤k≤n
 =
 k  k!⋅ (n − k)!
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n
0! = 1 1! = 1
2. Eigenschaften von Binomialverteilungen
0 1 2 3 4 5
k
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0 1 2 3 4 5
k
P( X = k) = B(n;p;k)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
P( X = k) = B(n;p;k)
P( X = k) = B(n;p;k)
2.1 Eigenschaften von Binomialverteilungen in Abhängigkeit von p (n fest)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0 1 2 3 4 5
k
B(5;0,1;k)
B(5;0,35;k)
B(5;0,5;k)
1. Je größer p ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung.
2. Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch: B(n;p;k) = B(n;p;n-k)
3. Es gilt die Symmetriebeziehung: B(n;p;k) = B(n;1-p;n-k)
0,2
0,1
0,0
0 1 2 3
0,5
0,4
0,3
B(n; p; k)
0,5
0,4
0,3
B(n; p; k)
B(n; p; k)
2.2 Eigenschaften von Binomialverteilungen in Abhängigkeit von n (p fest)
0,2
0,1
0,0
k
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0 1 2 3 4 5 6
k
B(3;0,4;k)
B(6;0,4;k)
1. Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher.
2. Mit wachsendem n werden die Verteilungen symmetrischer.
0
2
4
k
6
B(10;0,4;k)
2.3 Erwartungswert und Standardabweichung bei Bernoulli-Ketten
Der Erwartungswert
Die Standardabweichung
X sei die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann gilt:
µ = E(X) = n ⋅ p.
X sei die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann gilt:
σ(X) = n ⋅ p ⋅ (1 − p).
8
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