Binomialverteilung

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Binomialverteilung
Der Binomialverteilung liegt ein Bernoulli-Experiment zugrunde, d.h.
ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen:
Treffer mit der Trefferwahrscheinlichkeit p
und
Niete mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 - p.
Bernoulli-Kette der Länge n:
Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen desselben BernoulliExperiments besteht.
Formel von Bernoulli:
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p.
Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Treffer.
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer (0 # k #n):
Zugehöriger TI-Befehl:
binomPdf(n,p,k) oder Menu - 5:Wahrscheinlichkeit - 5: Verteilungen - D: Binomial PdF
Binomialverteilung:
Wahrscheinlichkeitsverteilung, die jedem Wert von k den zugehörigen Wert von P(X=k)
zuordnet:
Bsp.: Binomialverteilung mit n = 4, p = 0,5
1 r. Annett Fiedler - Carl-Zeiss-Gymnasium Jena, Math.-nat. Tage 13.03.2014
D
Kumulierte Binomialverteilung
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p.
Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Treffer.
Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer (0 # k #n):
Zugehöriger TI-Befehl:
binomCdf(n,p,k) oder Menu - 5:Wahrscheinlichkeit - 5: Verteilungen - E: Binomial CdF
Bsp.: Binomialverteilung mit n = 4, p = 0,5
Übung zur Binomialverteilung
Aus:
Bitsch, G.; Jacoby-Schäfer, H.; Kölle, M.; Schwarz, M.:
Unterrichtsmaterialien zum CAS-Einsatz, Texas Instruments 2010, S. 73.
Ein Glücksrad mit einer Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,3 wird 60 mal gedreht.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist B60;0,3-verteilt.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für 17, 18 und 19 Treffer.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl von 17 bis 19.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für höchstens 18 Treffer.
Bei wie vielen Drehungen ist die Wahrscheinlichkeit maximal, eine Trefferzahl im
Intervall [5 ; 9] zu erhalten?
Wie oft muss man das Rad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
wenigstens 95% eine Trefferzahl von 3 oder mehr zu erhalten?
Lösungen in der Datei binom-test.tns (Problem 3)
Dr. Annett Fiedler - Carl-Zeiss-Gymnasium Jena, Math.-nat. Tage 13.03.2014
2
Animierte Binomialverteilung
Aus:
Bitsch, G.; Jacoby-Schäfer, H.; Kölle, M.; Schwarz, M.:
Unterrichtsmaterialien zum CAS-Einsatz, Texas Instruments 2010.
3 r. Annett Fiedler - Carl-Zeiss-Gymnasium Jena, Math.-nat. Tage 13.03.2014
D
Noch eine Übung
Aus: Zappe/Langlotz: Stochastik, S. 35.
Zehn Pfeile werden auf eine Zielscheibe geworfen. Gezählt wird, wie viele Pfeile den innersten
Kreis treffen.
Ein Spieler weiß aus Erfahrung, dass er den inneren Kreis mit einer Wahrscheinlichkeit von
35% trifft.
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 10 Würfen genau 7 mal trifft.
Begründen Sie, dass das Modell “Binomialverteilung” anwendbar ist.
b)
Untersuchen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für dieses Experiment.
c)
Untersuchen Sie, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert, wenn sich die
Trefferwahrscheinlichkeit ändert.
Lösungen in der Datei binom-test.tns (Problem 5)
Dr. Annett Fiedler - Carl-Zeiss-Gymnasium Jena, Math.-nat. Tage 13.03.2014
4
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