Theorie - Bernoulli und Binomialverteilung

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung
Die Formel von Bernoulli
Satz :
Liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, dann
wird die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit B(n;p;k) bezeichnet. Sie kann mit
folgender Formel berechnet werden:
n
nk
P( X  k )  B(n; p; k )     p k  1  p 
k 
Hinweis 1: Das Tafelwerk liefert die Ergebnisse für bestimmte Werte direkt.
Hinweis 2: Die Berechnung von n führt zum Logarithmieren (bei den Aufgaben handelt es sich
um mindestens - mindestens - mindestens – Aufgaben, dieses Wort tritt also in der
Aufgabenstellung 3mal auf)
Bedingungen für eine Bernoulli-Kette:
- es gibt nur 2 Ereignisse E (Erfolg) und E (Misserfolg)
- die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E bleibt immer gleich
- der Bernoulli-Versuch wird n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt,
die jeweiligen Versuche sind unabhängig voneinander
Erwartungswert und Standardabweichung von Bernoulli-Ketten
Satz : X sei die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der
Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann gilt:
  E( X )  n  p
ist der Erwartungswert der Bernoulli-Kette.
Satz : X sei die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der
Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann gilt:
 ( X )  n  p  (1  p)
ist die Standardabweichung der Bernoulli-Kette.
Binomialverteilungen
Sei X die Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X bezeichnet man als Binomialverteilung mit
den Parametern n und p.
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P( X  k )  B(n; p; k ) wird in Abhängigkeit von
k durch eine Säule der Breite 1 und der Höhe P(X = k) dargestellt. Daher ist das Flächenmaß
dieser Säule gleich der Wahrscheinlichkeit P( X  k )  B(n; p; k ) für genau k Treffer. Die
Summe der Flächenmaße aller Säulen ist gleich 1, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1
beträgt.
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Blankenburg
Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung
Sieht man sich die Fälle 2-4 an, so fällt auf, dass es darum geht, die Wahrscheinlichkeit für
einen Bereich der Zufallsvariablen X zu berechnen. Diese Bereiche sind auf dem Zahlenstrahl
auch als Intervalle darstellbar. Für die Praxis bedeutet das, dass wir eventuell eine große Zahl
von Einzelwahrscheinlichkeiten aufaddieren müssen,
Bsp. für Fall 2 (linksseitiges Intervall):
P(X<5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
Bsp. für Fall 3(rechtsseitiges Intervall):
P(X  4) = 1 - P(X  3) = 1-[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]
Bsp. für Fall 4: P(3  X  6) = P(X  6) - P(X  2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)
In vielen Fällen bedeutet das Aufaddieren eine Menge Rechenarbeit mit entsprechend hoher
Fehlerwahrscheinlichkeit. Daher sind im Tafelwerk für häufig verwendete Werte für n, k und
p sogenannte kumulierte Binomialverteilungen F(n;p;k) aufgelistet. Diese müssen nur noch
richtig abgelesen werden.
Hinweis:
Im Tafelwerk stehen nur kumulierte Binomialverteilungen bis zu einem bestimmten k, also
für P(X  k). außerdem beginnt die Kumulation immer bei P(X=0). Für Aufgaben des Falls 3
muss also mit der Gegenwahrscheinlichkeit gearbeitet werden, für Aufgaben des Falls 4 mit
der Differenz zweier kumulierter Werte.
Weitere Eigenschaften binomialverteilter Zufallsgrößen
a) …in Abhängigkeit von p (n fest)
1) Je größer p, umso weiter rechts liegt das Maximum.
2) Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch: B(n;p;k) = B(n;p;n-k), die
Symmetrieachse verläuft durch den Erwartungswert.
3) Es gilt die Symmetriebeziehung: B(n;p;k) = B(n;1-p;n-k).
b) …in Abhängigkeit von n (p fest)
1) Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher.
2) Mit wachsendem n werden die Verteilungen symmetrischer.