P(X P(X >k)

Wichtige diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
n unabhangige Versuche, "Erfolg\ zu haben. Jeder Versuch fuhrt
mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg und
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 ; p zu keinem Erfolg.
X = Zahl der Erfolge. Weiter sei 0 k n. Dann gilt:
E (X )
Var(X )
= np
= npq
P (X = k) =
P (X < k) =
P (X k) =
P (X > k) =
P (X k) =
!
n pk qn;k
k
kX
;1
i=0
k
X
P (X = i)
=
P (X = i)
=
i=0
n
X
i=k+1
n
X
i=k
!
wobei nk = k!(nn;! k)! Binomialkoezient
P (X = i) =
P (X = i)
=
kX
;1
!
n piqn;i
i=0 i
k n!
X
i q n;i
p
i=0 i !
n
X
n piqn;i
i=k+1 !i
n n
X
i q n;i
p
i=k i
= 1 ; P (X k)
= 1 ; P (X > k)
= 1 ; P (X k)
= 1 ; P (X < k)
Approximationen
Fur kleine p (Faustregel: n p 10 und n > 1500 p) kann man die Binomialverteilung durch
die Poissonverteilung mit = E (X ) = n p approximieren.
Ist n gro und p 12 , zumindest nicht zu nahe an den Randern 0 oder 1 (Faustregel: n p q >
9), dann kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren.
Multinomialverteilung
n unabhangige Versuche mit m moglichen Ergebnissen E1 , E2 , : : : , Em . Jeder Versuch fuhrt
mit Wahrscheinlichkeit p1 zum Ergebnis E1,
mit
... Wahrscheinlichkeit p2 zum Ergebnis E2,
m
X
mit Wahrscheinlichkeit pm zum Ergebnis Em .
Es ist somit pj = 1.
j =1
Xj = Zahl der Ergebnisse Ej (fur jedes j = 1; 2; : : : ; m).
m
X
Dann gilt fur kj = n und 0 kj n:
Multinomialkoezient
j =1
}|
{
z
n
!
P (X1 = k1; X2 = k2; : : : ; Xm = km) = k !k ! : : : k ! pk11 pk22 : : : pkmm
1 2
m
1
(1)
Poissonverteilung
Man versucht kontinuierlich, Erfolg zu haben, und zwar mit konstanter Intensitat. Die Erfolge
sind "Punktereignisse\, z.B. Ereignisse im Zeitverlauf (Verkehrsunfalle) oder auch ortlich
(Zahl der Samen in 1 kg Boden).
Der Parameter entspricht dem Erwartungswert der Erfolge.
X = Zahl der Erfolge. Es sei k 0.
kX
;1
kX
;1 i
P (X < k) =
P (X = i) = e; i!
Dann gilt:
i=0
i=0
k
k i
X
; X P
(
X
k
)
=
P
(
X
=
i
)
=
e
E (X )
= i=0
i=0 i!
k i
Var(X ) = X
;
P (X > k) = 1 ; P (X k) = 1 ; e
i=0 i!
k
;
kX
;1 i
P (X = k) = k! e
P (X k) = 1 ; P (X < k) = 1 ; e; i!
i=0
Hypergeometrische Verteilung
Fest vorgegebene Grundgesamtheit mit N Elementen. M davon haben die Eigenschaft E.
Ziehe daraus n Elemente.
X = Zahl der Elemente mit Eigenschaft E. Weiter sei 0 k min(M; n). Dann gilt:
E (X ) = n M
N
M N ;M
M
Var(X ) = n N 1 ; N N ; 1
!
!
N ;M
n!; k
P (X = k) =
N
n
P (X < k); P (X k); P (X > k); P (X k) wieder durch entsprechende Summierung.
M
k
Approximation
Ist der Umfang N der Grundgesamtheit viel groer als der Stichprobenumfang n, so kann man
die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung mit p = MN approximieren.
Multihypergeometrische Verteilung
Fest vorgegebene Grundgesamtheit mit N = P Mj Elementen. M1 davon haben die Eigenj =1
schaft E1 , M2 die Eigenschaft E2, : : : , Mm die Eigenschaft Em . Ziehe daraus n Elemente.
Xj = Zahl der gezogenen Elemente mit Eigenschaft Ej (fur jedes j = 1; : : : ; m).
m
Dann gilt fur P kj = n und 0 kj min(Mj ; n):
!
!
!
j =1
M1 M2 Mm
: : : km
P (X1 = k1 ; X2 = k2; : : : ; Xm = km) = k1 k2 N !
n
m
2