Wichtige diskrete Verteilungen

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Wichtige diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
n unabhängige Versuche, Erfolg“ zu haben. Jeder Versuch führt
”
mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg und
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p zu keinem Erfolg.
X = Zahl der Erfolge.
E(X)
= n·p
Var(X)
= n·p·q
!
n k n−k
p q
k
P (X = k) =
P (X < k) =
Weiter sei 0 ≤ k ≤ n.
k−1
X
P (X = i)
wobei
=
P (X ≤ k) =
k
X
P (X > k) =
P (X ≥ k) =
!
n!
n
=
Binomialkoeffizient
k
k!(n − k)!
k−1
X
P (X = i)
i=0
n
X
=
P (X = i) =
i=k+1
n
X
P (X = i)
i=k
=
k
X
i=0
n
X
= 1 − P (X ≥ k)
!
= 1 − P (X > k)
n i n−i
pq
i
i=k+1
n
X
i=k
!
n i n−i
pq
i
i=0
i=0
Dann gilt:
!
n i n−i
pq
= 1 − P (X ≤ k)
i
!
n i n−i
pq
i
= 1 − P (X < k)
Approximationen
Für kleine p (Faustregel: n · p ≤ 10 und n > 1500 · p) kann man die Binomialverteilung durch
die Poissonverteilung mit λ = E(X) = n · p approximieren.
Ist n groß und p ≈ 21 , zumindest nicht zu nahe an den Rändern 0 oder 1 (Faustregel: n·p·q >
9), dann kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren.
Multinomialverteilung
n unabhängige Versuche mit m möglichen Ergebnissen E1 , E2 , . . . , Em . Jeder Versuch führt
mit Wahrscheinlichkeit p1 zum Ergebnis E1 ,
mit
.. Wahrscheinlichkeit p2 zum Ergebnis E2 ,
m
X
.
pj = 1.
mit Wahrscheinlichkeit pm zum Ergebnis Em .
Es ist somit
j=1
Xj = Zahl der Ergebnisse Ej
Dann gilt für
m
X
(für jedes j = 1, 2, . . . , m).
kj = n und 0 ≤ kj ≤ n:
Multinomialkoeffizient
z
}|
{
n!
P (X1 = k1 , X2 = k2 , . . . , Xm = km ) =
pk1 pk2 . . . pkmm
k1 !k2 ! . . . km ! 1 2
j=1
1
(1)
Poissonverteilung
Man versucht kontinuierlich, Erfolg zu haben, und zwar mit konstanter Intensität. Die Erfolge
sind Punktereignisse“, z.B. Ereignisse im Zeitverlauf (Verkehrsunfälle) oder auch örtlich
”
(Zahl der Samen in 1 kg Boden).
Der Parameter λ entspricht dem Erwartungswert der Erfolge.
X = Zahl der Erfolge.
Dann gilt:
Es sei k ≥ 0.
P (X < k) =
k−1
X
P (X = i)
= e
−λ
E(X)
= λ
Var(X)
= λ
P (X ≤ k) =
λi
i!
i=0
i=0
k
X
k−1
X
P (X = i)
= e−λ
i=0
k
X
λi
i=0 i!
P (X > k) = 1 − P (X ≤ k) = 1 − e−λ
P (X = k) =
λk −λ
e
k!
P (X ≥ k) = 1 − P (X < k) = 1 − e−λ
k
X
λi
i=0 i!
k−1
X
i=0
λi
i!
Hypergeometrische Verteilung
Fest vorgegebene Grundgesamtheit mit N Elementen. M davon haben die Eigenschaft E.
Ziehe daraus n Elemente.
X = Zahl der Elemente mit Eigenschaft E.
Weiter sei 0 ≤ k ≤ min(M, n).
M
N
M
N −M
M
Var(X) = n ·
·
· 1−
N
N
N −1
E(X)
M
k
= n·
P (X = k) =
!
Dann gilt:
N −M
n−k
!
N
n
!
P (X < k), P (X ≤ k), P (X > k), P (X ≥ k) wieder durch entsprechende Summierung.
Approximation
Ist der Umfang N der Grundgesamtheit viel größer als der Stichprobenumfang n, so kann man
die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung mit p = M
approximieren.
N
Multihypergeometrische Verteilung
Fest vorgegebene Grundgesamtheit mit N =
m
P
Mj Elementen. M1 davon haben die Eigen-
j=1
schaft E1 , M2 die Eigenschaft E2 , . . . , Mm die Eigenschaft Em . Ziehe daraus n Elemente.
Xj = Zahl der gezogenen Elemente mit Eigenschaft Ej
Dann gilt für
m
P
(für jedes j = 1, . . . , m).
kj = n und 0 ≤ kj ≤ min(Mj , n):
j=1
P (X1 = k1 , X2 = k2 , . . . , Xm = km ) =
2
M1
k1
!
!
Mm
M2
· ... ·
km
k2
!
N
n
!
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