Mathe II für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 23.03.17

Mathe II für Naturwissenschaften
23.03.17
Dr. Christine Zehrt
Übung 4
Uni Basel
Besprechung der Lösungen: 27.–30. März 2017 in den Übungsstunden
In der Pharma-Übungsstunde vom 30. März bei Clemens (32621-04) wird der neue
Termin ab der Woche vom 10. April zusammen mit den anwesenden Studierenden festgelegt.
Aufgabe 1
Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Erfolg sei das Werfen der Augenzahl 6.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei den 5 Würfen
(i) genau 4 Erfolge
(ii) höchstens 2 Erfolge
(iii) mindestens 3 Erfolge
zu erzielen?
(b) Wieviele Erfolge kann man auf lange Sicht (bei vielen Wurffolgen mit 5 Würfen) erwarten?
(c) Sei X die Zufallsgrösse X = (Anzahl Erfolge bei den 5 Würfen). Berechnen Sie die
gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung und stellen Sie diese in einem Balkendiagramm
dar.
Aufgabe 2
(a) Wir nehmen an, dass die Anzahl der Druckfehler pro Seite eines bestimmten Buches
durchschnittlich gleich 0,2 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit (Annahme einer Poissonverteilung) befinden sich mehr als 2 Fehler auf 10 Seiten?
(b) Bei der Herstellung von CDs treten störende Staubteilchen auf. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Staubteilchen poissonverteilt ist, mit durchschnittlich 0,05
Staubteilchen pro cm2 . Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, auf einer CD von 100 cm2
weniger als 3 Staubteilchen zu finden?
Aufgabe 3
Etwa 6 % aller freiwilligen Blutspender, welche sich in zufälliger Reihenfolge an einer örtlichen
Blutspendeaktion beteiligen, haben Blutgruppe AB.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird spätestens der achte Spender Blutgruppe AB aufweisen,
das heisst, wird unter den ersten acht mindestens ein AB-Spender sein?
(b) Wieviele Spender sollten sich an der Blutspendeaktion beteiligen, damit die Wahrscheinlichkeit für wenigstens einen AB-Spender grösser als 99 % ist?
Aufgabe 4
Bei der Produktion von Schoggi-Hasen gehen wir davon aus, dass 2 % der Schoggi-Hasen
fehlerhaft (d.h. nicht für den Verkauf geeignet) sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden
wir unter 50 Schoggi-Hasen
(a) keinen
(b) höchstens 2 fehlerhafte Schoggi-Hasen?
Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten exakt und mit Hilfe einer Näherung mit der Poissonverteilung.
Zusatzaufgaben
Aufgabe 5
Vladimir Petkovic, der Trainer der Schweizer Fussballnationalmannschaft, hat 23 Spieler zum
WM-Qualifikationsspiel vom 25.03.17 gegen Lettland aufgeboten, davon sind 3 Torhüter,
8 Verteidiger, 10 Mittelfeldspieler und 2 Stürmer. Wieviele Möglichkeiten für die Startelf hat
er, wenn er mit 4 Verteidigern und 1 oder 2 Stürmern spielen lässt?
Aufgabe 6
Bei einer radioaktiven Substanz werden mit einem Geiger-Müller-Zählrohr in einer Stunde
1961 Zerfallsakte registriert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem
Intervall von 10 Sekunden genau drei Zerfallsakte stattfinden. Gehen Sie von einer Poissonverteilung aus.
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass für die Wahrscheinlichkeiten P (k) einer Poissonverteilung gilt, dass
∞
X
P (k) = 1 .
k=0
Aufgabe 8
Sei X eine Zufallsgrösse und a, c reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass
V ar(aX + c) = a2 V ar(X) .
Aufgabe 9
Zeigen Sie, dass für eine poissonverteilte Zufallsgrösse X gilt V ar(X) = λ.