Randomisierte Algorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Sommersemester 2008
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Randomisierte Algorithmen
9. Übung
Aufgabe 1 Eine Chernoff-Ungleichung ist z. B. die folgende: Für n Zufallsvariablen
X1 , . . . , Xn , die unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) auf 1
und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p auf 0 gesetzt werden, gilt für die Zufallsvariable
X = X1 + . . . + Xn und alle δ > 0:
Pr[X ≥ (1 + δ) · E[X]] ≤ e−
min{δ,δ 2 }
·E[X]
3
.
Es sei p = 1/2.
1. Was ist E[X] in Abhängigkeit von n?
2. Welche obere Schranke liefert diese Chernoff-Ungleichung für die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 58 · n ist? Was ist also eine obere Schranke für
die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Münzwürfen mindestens 625 mal Kopf” zu
”
werfen?
3. Welche obere Schranke liefert die Markoff-Ungleichung für diese Wahrscheinlichkeit?
4. Wieso sind die Werte so extrem unterschiedlich?
Aufgabe 2 Wir wollen für eine gegebene Zahl n ∈ N eine möglichst große Auswahl
I ⊆ {1, . . . , n} finden, so dass für keine zwei verschiedenen Zahlen a, b ∈ I gilt, dass
a + b eine Quadratzahl ist (Quadrat einer natürlichen Zahl).
1. Formulieren Sie das Problem als Graphproblem, bei dem man eine geeignete
Auswahl aus der Knotenmenge treffen muss.
2. Wie viele Kanten enthält Ihr Graph höchstens in Abhängigkeit von n?
3. Welchen Wert für die Größe der gefundenen Lösung des Graphproblems liefert
der Derandomisierungsprozess aus der Vorlesung? D. h., wie viele Zahlen aus
{1, . . . , n} können Sie mindestens auswählen, so dass keine zwei verschiedenen
Zahlen in Summe eine Quadratzahl ergeben?
Aufgabe 3 Wir betrachten n unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn , die jeweils
mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) gleich 1 und sonst gleich 0 sind. Für die Summe
X = X1 + . . . + Xn der Zufallsvariablen ist der Erwartungswert gleich pn. Wir
betrachten die Chernoff Ungleichung, die besagt
Pr[X ≥ (1 + δ)pn] ≤
eδ
(1 + δ)1+δ
pn
Zeigen Sie, dass für alle δ > 0 die rechte Seite der Ungleichung nichttrivial, d. h.
kleiner als 1 ist.
Aufgabe 4 Wir betrachten eine zufällige Auswahl von Knoten in einem Graphen
G = (V, E), Knoten i werde mit Wahrscheinlichkeit pi ausgewählt. Zu Beginn seien
alle pi gleich p für einen Parameter 0 < p < 1. Wir wollen Derandomisieren und
eine Auswahl der Knoten finden, so dass wir höchstens 2p|V | viele Knoten und
mindestens p2 |E|/2 viele Kanten auswählen.
1. Stellen Sie in Analogie zur Vorlesung eine Potentialfunktion auf, so dass beide
Bedingungen erfüllt sind, wenn für eine 0/1-Belegung der pi die Potentialfunktion höchstens gleich 1 ist.
2. Ist ihre Potentialfunktion für die Anfangsbelegung höchstens gleich 1?
3. Funktioniert der Prozess der Derandomisierung für Ihre Potentialfunktion?