Approximations- und Onlinealgorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2011/12
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Approximations- und Onlinealgorithmen
7. Aufgabe
Aufgabe 7a Wir wollen für eine gegebene Zahl n ∈ N eine möglichst große Auswahl
I ⊆ {1, . . . , n} finden, so dass für keine zwei verschiedenen Zahlen a, b ∈ I gilt, dass
a + b eine Quadratzahl ist (Quadrat einer natürlichen Zahl).
1. Formulieren Sie das Problem als Graphproblem, bei dem man eine geeignete
Auswahl aus der Knotenmenge treffen muss.
2. Wieviele Kanten enthält Ihr Graph höchstens in Abhängigkeit von n?
3. Welchen Wert für die Größe der gefundenen Lösung des Graphproblems liefert der Algorithmus aus der Vorlesung? D.h., wieviele Zahlen aus {1, . . . , n}
können Sie mindestens auswählen, so dass keine zwei verschiedenen Zahlen in
Summe eine Quadratzahl ergeben?
Aufgabe 7b Wir betrachten eine zufällige Auswahl von Knoten in einem Graphen
G = (V, E); Knoten i werde mit Wahrscheinlichkeit pi ausgewählt. Zu Beginn seien
alle pi gleich p für einen Parameter 0 < p < 1. Wir wollen eine Auswahl der Knoten finden, so dass wir höchstens 2p|V | viele Knoten und mindestens p2 |E|/2 viele
Kanten auswählen.
1. Stellen Sie in Analogie zur Vorlesung eine Potentialfunktion auf, so dass beide
Bedingungen erfüllt sind, wenn für eine 0/1-Belegung der pi die Potentialfunktion höchstens gleich 1 ist.
2. Ist Ihre Potentialfunktion für die Anfangsbelegung höchstens gleich 1?
3. Funktioniert der Prozess für Ihre Potentialfunktion?
Aufgabe 7c Gegeben ist der folgende Graph mit n Knoten, wobei n eine gerade
Zahl ist. Die Knotenmenge des Graphen besteht aus zwei gleich großen disjunkten
Mengen A und B. In der Menge A sind alle möglichen Kanten und in der Menge B
sind keine Kanten vorhanden. Desweiteren sind alle möglichen Kanten zwischen A
und B vorhanden.
Welche unabhängige Menge könnte der Algorithmus (Potentialfunktion) aus der
Vorlesung liefern?
Aufgabe 7d Gegeben sind n Knoten. Zufällig und unabhängig voneinander werden
Kanten jeweils mit Wahrscheinlichkeit p = d/n eingefügt.
1. Wie groß ist typischerweise die Anzahl Knoten einer maximalen unabhängigen
Menge höchstens in dem zufälligen Graphen?
2. Wie gut ist der Algorithmus (Potentialfunktion) aus der Vorlesung für diesen
zufälligen Graphen typischerweise?
Aufgabe 7e Der Algorithmus (Potentialfunktion) aus der Vorlesung für einen Graphen mit Knotenmenge {1, . . . , n} wird dahingehend modifiziert, dass bei Betrachtung des Knoten j nur dann der Wert pj auf 1 gesetzt wird, wenn für pj das probeweise Einsetzen der 1 einen echt größeren Wert für die Potentialfunktion liefert als
das probeweise Einsetzen der 0.
Zeigen Sie, dass dann die Menge I = {i ∈ {1, . . . , n}|pi = 1} schon eine unabhängige
Menge ist (und daher nicht nachbearbeitet werden muss).