Ubungen zur Vorlesung Randomisierte

Rolf Wanka
Alexander Raß
Erlangen, 9. Mai 2017
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2017
Blatt 3
AUFGABE 8:
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph, und seien s und t, s,t ∈ V , s 6= t, zwei besondere“ Knoten
”
von G. Ein s-t-Schnitt C, C ⊆ E, ist ein Schnitt durch G, so daß es nach Entfernen von C aus G
keinen Weg zwischen s und t mehr gibt.
Betrachten Sie den Algorithmus C ONTRACT G RAPH aus der Vorlesung, der nun einen minimalen
s-t-Schnitt berechnen soll. Der Algorithmus wird dazu so modifiziert, daß nie zwei Knoten zu
einem neuen Knoten werden, wenn der dadurch s und t beide enthalten würde.
Dieser modifizierte Algorithmus soll nun auf den Graphen Hn angewandt werden, der aus den
Knoten s, t und v1 , . . . , vn−2 besteht. Sowohl s, als auch t sind mit allen Knoten vi verbunden. Die
Knoten v1 , . . . , vn−2 sind untereinander als ein Kreis verbunden. Die Abbildung zeigt H6 .
v1
v2
s
t
v4
v3
(a) Wieviele minimale s-t-Schnitte gibt es in Hn ?
(b) Zeigen Sie, daß die Wahrscheinlichkeit, daß einer dieser minimalen s-t-Schnitte den Kontraktionsvorgang überlebt, höchstens ( 23 )n−2 ist.
AUFGABE 9:
Diese Aufgabe soll noch einmal das Gefühl für die Varianz schärfen.
Sie haben einen normalen 6-seitigen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6. Jede Seite liegt beim Würfeln
mit Wahrscheinlichkeit 16 oben. Sei X die Zufallsvariable, die den erwürfelten Wert bezeichnet.
(a) Berechnen Sie E[X].
(b) Können Sie mit (a) direkt E[X 2 ] berechnen? Bestimmen Sie E[X 2 ].
(c) Berechnen Sie Var[X] und σ[X].