Approximationsalgorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2005/06
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Approximationsalgorithmen
10. Übung
Aufgabe 1 Zwei Aufgaben zur Markov Ungleichung:
1. Zeigen oder widerlegen Sie: Die Markov Ungleichung
P r[X ≥ α] ≤ E[X]/α
gilt für alle diskreten Zufallsvariablen X.
2. Wir betrachten eine Zufallsvariable X, die Werte aus Z annehmen kann, und
für die gilt P r[X = −i] ≤ 1/2 · P r[X = i] ∀ i ∈ N. Geben Sie eine Version der
Markov Ungleichung für solche Zufallsvariablen an.
Aufgabe 2 Wir betrachten n unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1 gleich 1 und sonst gleich 0 sind. Für die Summe S der
Zufallsvariablen ist der Erwartungswert gleich pn. Die Chernov Ungleichung sagt
für solche Zufallsvariablen aus, dass gilt
P r[S ≥ (1 + δ)pn] ≤
eδ
(1 + δ)1+δ
pn
Zeigen Sie, dass für alle δ > 0 die rechte Seite der Ungleichung nichttrivial, d. h.
kleiner als 1 ist.
Aufgabe 3 Wir betrachten eine zufällige Auswahl von Knoten in einem Graphen
G = (V, E), Knoten i werde mit Wahrscheinlichkeit pi ausgewählt. Zu Beginn seien
alle pi gleich p für einen Parameter 0 < p < 1. Wir wollen Derandomisieren und
eine Auswahl der Knoten finden, so dass wir höchstens 2p|V | viele Knoten und
mindestens p2 |E|/2 viele Kanten auswählen.
1. Stellen Sie in Analogie zur Vorlesung eine Potentialfunktion auf, so dass beide
Bedingungen erfüllt sind, wenn für eine 0/1-Belegung der pi die Potentialfunktion höchstens gleich 1 ist.
2. Ist ihre Potentialfunktion für die Anfangsbelegung höchstens gleich 1?
3. Funktioniert der Prozess der Derandomisierung für Ihre Potentialfunktion?