Lösung

Lösungen für das 7. Tutorium zur Übung Statistik
Organisatorisches
• Die Tutoriumseinheiten am 19. bzw. 20. Mai werden entfallen, da die Übungen am 16.–17. Mai entfallen
und es daher kein neues Übungsblatt geben wird.
• Die Tutorien am Donnerstag, 26. Mai werden wegen des Feiertages entfallen. Es wird empfohlen das
Tutorium am Freitag den 27. Mai als Alternative zu besuchen.
Tafelbeispiele
1. Geometrische Verteilung. Ein blindes Huhn hat acht verschiedene Schlüssel am Schlüsselbund von
denen einer die verschlossene Türe aufsperrt. Es probiert nun einen Schlüssel, und wenn dieser nicht
passt, schüttelt es den Schlüsselbund und probiert von neuem irgendeinen der acht Schlüssel.
(a) Berechne den Erwartungswert und die Varianz der Verteilung.
Lösung:
Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(X = k) = p · (1 − p)k−1
k = 1, 2, . . .
Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung mit p = 81 :
E(X ) =
1
1
= 1 =8
p
8
Var(X ) =
1 − 18
1−p
=
= 56
1 2
p2
8
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet, dass das blinde Huhne genau sechs Versuche braucht, um den
passenden Schlüssel zu finden?
Lösung:
P(X = 6) =
1
1
· (1 − )6−1 = .0641
8
8
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das blinde Huhn nach 3 oder weniger Versuchen den
passenden Schlüssel gefunden hat?
Lösung:
P(X ≥ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = .3301
P(X = 1) = .125
P(X = 2) = .1094
P(X = 3) = .0957
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Huhn genau 4 falsche Schlüssel probiert, bevor es
den richtigen Schlüssel findet?
1
Lösung:
Durch logisches überlegen bzw. anderer Parameterisierung der geometrischen Verteilung (Y . . . Anzahl
der Misserfolge im Gegensatz zu X . . . Anzahl der Versuch bis zum ersten Erfolg) erhält man
P(Y = k) = p(1 − k)k
k = 0, 1, . . .
1
1 4
P(Y = 4) = · (1 − ) = .0733
8
8
2. Hypergeometrische Verteilung. Insgesamt besuchen 150 Personen eine Ausstellung. Davon kommen
110 aus Österreich und der Rest aus Deutschland.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 5 zufällig ausgewählten StudentInnen mehr als 1 aus
Österreich kommt?
Lösung:
Die Anzahl der österreichischen Besucher ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N =
150, A = 110, n = 5.
 ‹
‹
A N −A
a
n−a
P(X = a) =
 ‹
N
n
P(X > 1) = 1 − P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

‹ ‹
110 40
0
5
= .00111
P(X = 0) =

‹
150
5

‹ ‹
110 40
1
4
= .01699
P(X = 1) =

‹
150
5
P(X > 1) = 1 − (.00111 + .01699) = .98190
3. Binomial- und Poissonverteilung. Angenommen aus n = 400 erstsemestrigen Studenten schaffen es
1% innerhalb von 8 Jahren einen Doktortitel zu erlangen.
(a) Welche Verteilung scheint geeignet, diesen Umstand zu beschreiben?
Lösung:
Gegeben sind: n = 400, p =
1
100 .
Es kann daher die Binomialverteilung angewandt werden. Da für
D
große n und kleine p gilt: B(n, p) −−−−−−→ P(n· p) kann auch die Poissonverteilung mit Parameter
n→∞,p→0
λ = nṗ verwendet werden (einfachere Berechnung!)
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 Jahren höchstens 3 Studenten einen Doktortitel
tragen?
Lösung:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
2
exakte Berechnung via Binomialverteilung:

‹
400
.010 (1 − .01)400 = .01795
0

‹
400
P(X = 1) =
.011 (1 − .01)399 = .07253
1

‹
400
P(X = 2) =
.012 (1 − .01)398 = .14615
2

‹
400
P(X = 3) =
.013 (1 − .01)397 = .19586
3
P(X = 0) =
P(X ≤ 3) = .43249
Approximation via Poissonverteilung mit λ = 400 · .01 = 4:
λk −λ
e
k!
40 −4
= 0) =
e = .01832
0!
41 −4
= 1) =
e = .07326
1!
42 −4
= 2) =
e = .14653
2!
43 −4
= 3) =
e = .19537
3!
≤ 3) = .43347
P(X = k) =
P(X
P(X
P(X
P(X
P(X
Unserer Approximation ist in diesem Fall gut: ∆ = .00098. Dies ist aber nicht immer der Fall
(kleines n, großes p, oder beides)! Bsp. n = 10, p = .03.
3