Bernoulli-ExperimenteBernoulli

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Bernoulli-Experimente
Bernoulli-Kette / Binomialverteilung
Unter der Durchführung eines Zufallsexperiments versteht man das Beobachten eines zufälligen
Ereignisses mit ungewissem Ausgang.
Definition:
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment
Ein Bernoulli-Experiment kann als Resultat nur die Ergebnisse 0 oder 1 bzw. Treffer oder Niete
besitzen. Als Beispiel hierfür wäre das Werfen einer Münze zu nennen, deren Ergebnis nur Kopf oder
Zahl annehmen kann. (vgl. weitere Beispiele aus dem täglichen Leben: Gewinn-Verlust, fehlerfreifehlerhaft, ja-nein, offen-geschlossen, …)
Eine Reihe von Bernoulli-Experimenten, die hintereinander ausgeführt werden, und bei denen die
Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bzw. eine Niete gleich bleibt, heißt Bernoulli-Kette.
Definition:
Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei der Wiederholung
eines Bernoulli-Experiments nicht und wiederholt man das Experiment n-mal,
so heißt diese Wiederholung eine n-stufige Bernoulli-Kette
und kann wie ein einziges Experiment betrachtet werden.
In einer Bernoulli-Kette wird die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bzw. für die 1 als p bezeichnet,
wohingegen die Wahrscheinlichkeit eine Niete bzw. 0 als Ergebnis zu erhalten als q bezeichnet wird.
Da nur die beiden Zustände vorkommen können, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete die von 1
(also der Sicherheit) übriggebliebene Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu erhalten.
Kurz: q = 1 – p oder p = 1 – q .
Die Wahrscheinlichkeit p bzw. q ist eine Zahl zwischen 0 und 1 mit 0  p  1 .
Eine weitere Größe in einer Bernoulli-Kette ist die Anzahl der Durchführungen.
Sie wird als n bezeichnet. Es ist also eine n-stufige Bernoulli-Kette.
Als k bezeichnet man die Anzahl der Treffer, die die n-stufige Bernoulli-Kette geliefert hat.
Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der
Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer vorkommen, wird die Formel der sogenannten
Binomialverteilung angewendet.
Definition:
Ist bei einer n-stufigen Bernoulli-Kette die Trefferwahrscheinlichkeit p,
so heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung
 n
P( Z  k )    p k (1  p) n  k
k
für alle k mit 0  k  n Binomialverteilung.
Sie wird oft als B(n;p;k) bezeichnet. Z ist dabei eine Zufallsgröße, die den Ergebnissen der BernoulliKette ihre Trefferzahl zuordnet.
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Binomialverteilung
Um jedoch nicht nur die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer zu berechnen, sondern auch auf
Wahrscheinlichkeiten für höchstens (also Z  k) bzw. mindestens (also Z  k) k Treffer zu gelangen,
sind noch weitere Formeln nötig:
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer wird beschrieben durch die Formel:
k
k
 n
P( Z  k )   B(n; p; i )     p i (1  p ) n i
i 0
i 0  i 
Die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer (=höchstens k-1 Treffer)
P(Z < k) = P(Z  k – 1)
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer wird durch folgende Formel definiert:
P(Z  k) = 1 – P(Z  k – 1)
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als k Treffer durch:
P(Z > k) = 1 – P(Z  k)
Als Folgerungen der Standard-Binomialverteilungen ergeben sich noch weitere hilfreiche Formeln,
um Bereiche für Werte von Z zu berechnen, die eingegrenzt sind:
P(k1 < Z  k2) = P(Z  k2) – P(Z  k1)
P(k1  Z  k2) = P(Z  k2) – P(Z  k1 – 1)
P(k1  Z < k2) = P(Z  k2 – 1) – P(Z  k1 – 1)
Um die Binomialverteilungen nicht immer per Hand bzw. per Taschenrechner zu berechnen, gibt es in
den Stochastiklehrbüchern oder als Ergänzung zu den Formelsammlungen Tabellen, mit denen die
Verteilungen leicht und schnell abgelesen werden können.
Um möglichst unterschiedliche Binomialverteilungen mit Hilfe nur zweier Tabellentypen (für B(n;p;k)
bzw. F(n;p;k) ermitteln zu können, wurden o.g. spezielle Formeln entwickelt.
Die wichtigsten Standardtabellen zur Berechnung von Binomialverteilungen lassen sich auch mit
Schülern in Excel erarbeiten. (siehe S.3 und download-Angebot).
- S. 2/3 -
Binomialverteilung
B(n;p;k)
n
5
k
0
1
2
3
4
5
0,02
0,9039
0,0922
0,0038
0,0001
0,0000
0,0000
0,98
0,03
0,8587
0,1328
0,0082
0,0003
0,0000
0,0000
0,97
F(n;p;k) (= P ( Z  k ) 
0,04
0,8154
0,1699
0,0142
0,0006
0,0000
0,0000
0,96
0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011
0,0000
0,0000
0,95
p
0,1
0,5905
0,3281
0,0729
0,0081
0,0005
0,0000
0,9
p
0,2
0,3277
0,4096
0,2048
0,0512
0,0064
0,0003
0,8
0,3
0,1681
0,3602
0,3087
0,1323
0,0284
0,0024
0,7
0,4
0,0778
0,2592
0,3456
0,2304
0,0768
0,0102
0,6
0,5
0,0313
0,1563
0,3125
0,3125
0,1563
0,0313
0,5
5
4
3
2
1
0
k
5
n
0,05
0,7738
0,9774
0,9988
1,0000
1,0000
0,95
p
0,1
0,5905
0,9185
0,9914
0,9995
1,0000
0,9
p
0,2
0,3277
0,7373
0,9421
0,9933
0,9997
0,8
0,3
0,1681
0,5282
0,8369
0,9692
0,9976
0,7
0,4
0,0778
0,3370
0,6826
0,9130
0,9898
0,6
0,5
0,0313
0,1875
0,5000
0,8125
0,9688
0,5
5
4
3
2
1
k
5
n
k
 B(n; p; i)
i 0
n
5
k
0
1
2
3
4
0,02
0,9039
0,9962
0,9999
1,0000
1,0000
0,98
0,03
0,8587
0,9915
0,9997
1,0000
1,0000
0,97
0,04
0,8154
0,9852
0,9994
1,0000
1,0000
0,96
Siehe auch: Exceltabellenblatt (zum download)
- S. 3/3 -
Binomialverteilung
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