Übungsblatt 9

ÜBUNGSBLATT 9 ZU
Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Prof. Günter Sigl
II. Institut für Theoretische Physik der Universität Hamburg
Luruper Chaussee 149
D-22761 Hamburg
Germany
email: [email protected]
tel: 040-8998-2224
Abgabetermin: 29.06.2010 vor den Übungen
1. (4 Punkte) Drehimpuls-Komponenten
Finden Sie im Eigenzustand Ylm des Gesamt-Drehimpulses L2 und dessen Projektion auf die
z−Achse Lz die Erwartungwerte von L2x und L2y . Finden Sie auch den Erwartungswert und
die Fluktuation der Projektion des Drehimpulses auf die Achse n, die den Winkel α mit der
z−Achse bildet.
2. (12 Punkte) Zeigen Sie die in der Vorlesung angegebenen Ausdrücke für den Gradienten,
Drehimpuls-Komponenten und Gesamt-Drehimpuls in Kugelkoordinaten,
e
∂
∂
∂
a) ∇ = er ∂r
+ erθ ∂θ
+ r sinϕ θ ∂ϕ
,
(
)
∂
∂
b) Lx = i~ sin ϕ ∂θ
+ cot θ cos ϕ ∂ϕ
,
(
)
∂
∂
c) Ly = i~ − cos ϕ ∂θ
+ cot θ sin ϕ ∂ϕ
,
∂
d) Lz = −i~ ∂ϕ
,
)
(
∂
∂
+ i cot θ ∂ϕ
,
e) L± = ~e±iϕ ± ∂θ
]
[
(
)
∂
∂
∂2
.
f) L2 = −~2 sin1 θ ∂θ
sin θ ∂θ
+ sin12 θ ∂ϕ
2
bitte wenden
1
3. (4 Punkte) Ebener Rotator
Der ebene Rotator auf der Kugeloberfläche wird durch den Hamilton-Operator
H=
L2z
2I
beschrieben, wobei I das Trägheitsmoment ist.
a) Finden Sie die Energie-Eigenwerte und die zugehörigen Eigenfunktionen. Inwiefern sind
diese Eigenwerte entartet ?
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Eigenwerte von Lz im durch die Wellenfunktion ψ(θ, ϕ) = C cos2 θ beschriebenen Zustand (C=Normierungskonstante). Bestimmen Sie auch Erwartungswert und Standard-Abweichung dieser Verteilung.
2