Serie 12 - D-MATH

D-MATH, D-PHYS
Prof. J. Teichmann
Funktionentheorie
HS 2013
Serie 12
Abgabe: Bis Montag, den 9. Dezember, bis spätestens 10.15 Uhr in den Fächern
im HG J 68. Die Online-Fragen können bis Montag, den 9. Dezember, um 8 Uhr
beantwortet werden.
1. Sei eine Folge (ck )k∈Z in C gegeben, so dass c−1 = 0 und lim supk→∞ |c−k |1/k ≤
R0 < R1 ≤ lim inf k→∞ |ck |−1/k gilt. Zeigen Sie, dass die Reihe
F (z) :=
X
k∈Z6=−1
ck
(z − a)k+1
k+1
für a ∈ C auf jeder kompakten Teilmenge von Ω := {z ∈ C | R0 < |z − a| <
R1 } gleichmässig konvergiert und eine holomorphe Funktion
darstellt. Zeigen
P
Sie weiter, dass F eine Stammfunktion von f (z) := k∈Z ck (z − a)k ist. Was
geht schief, falls c−1 6= 0?
2. (a) Zeigen Sie, dass die Laurentreihe von
ez
1
ez −1
im Nullpunkt die Form
1 1 X B2k 2k−1
1
= − +
z
−1
z
2
(2k)!
k≥1
mit B2k ∈ Q hat. Wir nennen die Zahlen B2k Bernoullizahlen.
(b) Zeigen Sie, dass die Laurentreihe von cot(z) im Nullpunkt durch
cot(z) =
1 X (−1)k 22k B2k 2k−1
+
z
z
(2k)!
k≥1
gegeben ist.
(c) Verwenden Sie die Gleichung cot(z) = cos(z)
sin(z) und die Taylorentwicklungen
von sin und cos, um die Bernoullizahlen B2 , B4 , B6 und B8 zu berechnen.
3. Klassifizieren Sie die Singularitäten und bestimmen Sie die Residuen der
Funktionen
(a)
1−cos z
,
z2
1/z
(b) e
+ 1/z,
(c) (z + 1)−n , n ∈ Z>0 ,
1
(d) (z + 2) sin z+2
,
2
(e)
(f)
g(z)
1+z n , g holomorph,
4z
(z 2 +2az+1)2 , a > 1.
1
4. Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
R
tz
(a) |z|=3 z2 (z2e+2z+2) dz, t ∈ R,
R
ez
(b) |z|=5 cosh
z dz,
R 2+3 sin(πz)
(c) Γ z(z−1)2 dz, wobei Γ der Rand des Quadrats mit den Ecken ±3 ± 3i
ist.
5. Sei Ω := C \ {±i} und γ ∈ Z(Ω). Welche Werte kann das Integral
Z
1
dz
2
γ 1+z
annehmen?
6. Online-Fragen:
1. Sei q ∈ C mit |q| < 1, und sei θ(z) =
∞
X
2
q n z n . Welche der folgenden
n=−∞
Aussagen sind korrekt?
(a)
Diese Laurentreihe konvergiert für alle z mit z 6= 0.
(b)
Diese Laurentreihe konvergiert für alle z mit |q| < |z| < 1 und divergiert
für alle z mit |z| > 1 und mit |z| < |q|.
Z
Es gilt
θ(ζ)dζ = 2πiq, für q ∈ R≥0 .
(c)
|ζ|=q
(d)
θ hat einen Pol in 0.
(e)
Es gilt θ(q 2 z) =
he.
1
qz θ(z)
für alle z im Konvergenzbereich der Laurentrei-
2. Sei u : [0, 2π] → R mit u(t) =
(a)
(b)
1
cos(t)−2 .
Welche Aussagen sind korrekt?
Es gilt u(t) = f (eit )eit für eine gewisse analytische Funktion f : D → C
auf einem Bereich D, der den Einheitskreis enthält.
Z 2π
u(t)dt = 0.
0
Z
2π
(c)
√
u(t)dt = −2π/ 3
0
Z
2π
u(t)dt = −2π
(d)
0
2