Ubungen zur Theoretischen Atomphysik Blatt 1 Harald

Übungen zur Theoretischen Atomphysik
Harald Friedrich, T.U. München
Blatt 1
1. 2D Wasserstoffatom
Der Hamilton-Operator für das 2-dimensionale Wasserstoffatom in atomaren Einheiten ist
q
p2 Z
H=
− ,
p = (px , py ) und r = x2 + y 2 .
(1)
2
r
√
(a) Man
√ kann parabolische Koordinaten (µ, ν) (µ = r + x und ν =
r − x) benutzen, um die Eigenwerte und Eigenfunktionen des
Operators (1) zu finden. Zeigen Sie, dass das Eigenwertsproblem
für (1) separabel ist und als zwei harmonischen Oscillatoren Hµ (ω)
und Hν (ω) geschrieben werden kann, wobei
Hµ (ω) = −
1 ∂2
1
+ ω 2 µ2
2
2 ∂µ
2
und
ω 2 = −2E.
(b) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte des 2D Wasserstoffatoms sind
Z2
,
n = 0, 1, 2, . . .
2(n + 1/2)2
Schreiben Sie die Eigenfunktion des Grundzustandes.
(c) Zeigen Sie, dass Lz = xpy − ypx mit der Hamilton-Operator (1)
kommutiert, und dass die Eigenwerte En (2n+1)-fach entartet für
lz = −n, −n + 1, . . . , n − 1, n sind.
En = −
2. (a) Beweisen Sie, dass
Z
∞
sin(kr) sin(k 0 r)dr =
0
π
δ(k − k 0 ).
2
Hinweis: Betrachten ZSie den Limes
∞
lim
sin(kr) sin(k 0 r)e−γr dr.
γ→0 0
(b) Sei φk (r) die reguläre Lösung der radialen Schrödingergleichung
für ein Teilchen der Masse m im Potential V (r) (V (r) = 0 für
r→∞
r ≥ r0 ). Die Normierung sei so, dass φk (r) −→ sin(kr + δk ).
Zeigen Sie, dass
Z ∞
π
φk (r)φ0k (r)dr = δ(k − k 0 ).
2
0