VL 16

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Mechanik II / Vorlesung 16 / Prof. Popov
I. Drehimpuls bei einer Drehung um eine
beliebige Achse
G
ω x = ω cosα
ω
ω y = ω sin α
a
y
G
G
mb2
L
F
Θx =
12
b
G
ma 2
α
Θ
=
−F
y
β
12
x
b
tan α = .
a
2
mb
ω cosα
Lx = Θ xω x =
12
ma 2
ω sin α
Ly = Θ yω y =
12
a 2 sin α a 2 b a
= 2 = = tan −1 α .
tan β = 2
b cosα b a b
Der Vektor des Drehimpulses dreht sich um
die Achse. Das heißt, er ändert sich.
II. Zeitliche Änderung eines rotierenden
Vektors.
G
Wenn ein Vektor A sich mit der WinkelgeG
schwindigkeit ω dreht, so gilt
G G G
A =ω × A.
Beispiele:
G G G G
(a) Geschwindigkeit v = r = ω × r
(b) Beschleunigung
G G
G G G G G
a = v = ω × v = ω × (ω × r )
(c) Änderung des Drehimpulses
G G G
L =ω ×L
III. Die in der Achse bei einer Rotation wirkenden Kräfte.
Nach dem Drehimpulssatz
G G G G
L =ω ×L = M .
Ändert sich der
Drehimpuls, so
muss ein Kraftmoment wirken! Die
Änderung des Drehimpuls zeigt in die
Tafel. In den Lagern
muss somit ein Kräftepaar wirken, wie im
Bild 1 gezeigt. Woher stammt dieses Kraftmoment? Betrachten wir die Platte im rotierenden Bezugssystem. Durch die Zentrifugalkräfte entsteht ein Kraftmoment in der gezeig-
Kreiselbewegung
ten Richtung. Die Reaktionskräfte in den Lagern wirken in die entgegensetzte Richtung.
Was geschieht, wenn die Achse nicht festgehalten wird?
IV. Symmetrischer Kreisel
Definition: Θ x = Θ y ≠ Θ z . Zum Beispiel:
A. Reguläre Präzession (Nutation) eines symmetrischen Kreisels.
G
G
L1 = Θ1ω1
ω
L
L2 = Θ2ω 2 = 0
x3
L3 = Θ3ω3
Winkelgeschwindigkeit
der Drehung um die
x1
Symmetrieachse:
θ
L
L cosθ
ω3 = 3 =
Θ3
Θ3
L sin θ
ω1 = ω Pr sin θ =
.
Θ1
L
Daraus ω Pr =
. Die Kreisachse beschreibt
Θ1
G
einen Kreiskegel um die Richtung L .
V. Präzession unter der Einwirkung eines
Kraftmomentes
G
Wenn wir
ω
die
G
-F
L in die Kreiselachse
Tafel
gerich- gleichmäßig
tet
G
um die
F
Ω
vertikale
Achse drehen, wie ändert sich der Drehimpuls?
G G G G
L =ω ×L = M
Wenn die Kräfte in vertikaler Ebene wirken, so
bewegt sich die Achse in der horizontalen Ebene
VI. Spielkreisel
G
L
Ω Pr
G
ω
θ
h
mg
1
L = Ω Pr L sinθ = mgl sinθ ⇒
Ω Pr =
mgl mgl
=
L
Θω
Astronomisches Beispiel: Präzession der Erde
Sonne
Periode der
25800 Jahre.
astronomischen
Präzession
VII. Präzession und Nutation
G
Ω Pr äz
G
ω Nut
VIII. Satz vom gleichsinnigen Parallelismus
der Drehachsen (Foucault)
Die Kreiselachse versucht sich gleichsinnig
parallel mit der Achse der Zwangsdrehung
zu stellen.
2
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