11. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik II

Friedrich-Schiller-Universität Jena
SoSe 15
11. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik II
Abgabe am Dienstag der 12. Semesterwoche in der Vorlesung.
Aufgabe 27:
(5 Punkte)
Wird ein Teilchen an einem Zentralpotential V (r) gestreut, so erhalten die einzelnen Partialwellen im auslaufenden Anteil der Wellenfunktion eine Phasenverschiebung δ` . Die Par`)
tialwelle hat dort die asymptotische Form ∼ sin(kr−`π/2+δ
. Die Streuamplitude f (ϑ) ergibt
kr
sich mittels dieser Streuphasen zu
f (ϑ) =
1X
(2` + 1)eiδ` sin δ` P` (cos ϑ).
k `≥0
Im weiteren soll das Potential von der Form V (r) =
α
r2
sein.
(a) Berechnen Sie die Streuphasen δ` für dieses Potential. Möglicherweise ist dabei nützlich,
die Schrödingergleichung zur `-ten Partialwelle zu betrachten. Hinweis: Sie dürfen annehmen,
dass eine eindeutige analytische Fortsetzung der sphärischen Besselfunktionen j` (r) für ` ∈ R existiert.
(b) Nehmen Sie an, dass α so klein ist, dass man Terme der Ordnung α2 in der Streuamplitude vernachlässigen kann. Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt für
diesen Fall.
(c) Berechnen Sie alternativ den differentiellen Wirkungsquerschnitt nun in Bornscher
Näherung und vergleichen Sie die Resultate.
R ∞ sin(αr)
P
= π2
Hilfsformeln: `≥0 P` (cos ϑ) = (2 sin ϑ2 )−1 ,
r
0
Aufgabe 28:
(6 Punkte)
Für kleine Energien ist die s-Wellen-Streuung dominant. Für die Streuphase δ`=0 (k) gilt
dann näherungsweise
1
k2
k cot δ0 (k) ' − + r0 ,
a
2
wobei a als die Streulänge und r0 als die effektive Reichweite bezeichnet werden. Diese wichtige Relation soll im Folgenden hergeleitet werden. Für die Streuung an einem Zentralpotential
V (r) ergab sich als radiale Schrödingergleichung der Wellenfunktion ψ`m (r) = u`r(r) Y`m (ϑ, ϕ)
in der `-ten Partialwelle
2
d
`(` + 1)
2
+k −
u` (k, r) = U (r)u` (k, r),
dr2
r2
wobei k 2 = 2mE/~2 und U (r) = 2mV (r)/~2 ist. u` (k, r) hat die asymptotische Form
u` (k, r → ∞) ∼ sin(kr − `π/2 + δ` ) und u` (k, r)/r ist im Ursprung regulär zu wählen.
(a) Betrachten Sie die radiale Schrödingergleichung im Fall ` = 0 für die zwei verschiedenen
Energien k 6= 0 und k = 0. Zeigen Sie durch geeignete Umformung, dass mit v(r) :=
u`=0 (k, r) und v0 (r) := u`=0 (k = 0, r) für die Wronski-Determinante W (v, v0 ; r) :=
v(r)v00 (r) − v0 (r)v 0 (r) die Beziehung gilt
d
W (v, v0 ; r) = k 2 v(r)v0 (r).
dr
(I)
(b) Die zu den v und v0 gehörenden asymptotischen Wellenfunktionen v ∞ und v0∞ , also v(r → ∞) = v ∞ (r) und v0 (r → ∞) = v0∞ (r), genügen offensichtlich der radialen
Schrödingergleichung zum Potential V = 0 und erfüllen daher eine zu (I) analoge Relation, die wir mit (II) bezeichnen. Zeigen Sie, dass aus (I) und (II) die Integralbeziehung
Z ∞
2
dr (vv0 − v ∞ v0∞ )
(III)
W (v, v0 ; r = 0) = k
0
folgt.
(c) Wählen Sie zur Auswertung der letzten Relation die in v ∞ (r) freibleibende Normierungskonstante so, dass v ∞ (r = 0) = 1 wird. Zeigen Sie, dass sich aus (III) mit der
Definition der Streulänge − a1 := limk→0 k cot δ0 (k) die sogenannte Bethe-Formel
Z ∞
1
2
k cot δ0 (k) = − + k
dr (v ∞ v0∞ − vv0 )
a
0
ergibt, welche eine exakte Beziehung darstellt.
(d) Zeigen Sie, dass für k → 0 (d.h. unter Vernachlässigung des k 2 -Terms in der BetheFormel) der totale Streuquerschnitt durch σ = 4πa2 gegeben ist. Im Grenzfall kleiner
Energien spielt sich der Streuquerschnitt also so ab, als ob alle Teilchen von einer Kugel
mit dem Radius a, der Streulänge, gestreut würden.
(e) Für kleine k lassen sich in erster Näherung v(r) durch v0 (r) und v ∞ (r) durch v0∞ (r)
ersetzen. Geben Sie den entstehenden Ausdruck für die effektive Reichweite r0 an.
Überzeugen Sie sich durch Skizzieren der Wellenfunktionen v0 und v0∞ für ein Kastenpotential mit der Reichweite R0 , dass die definierte Größe r0 mit R0 vergleichbar
ist.
Aufgabe 29:
(2 Punkte)
Zeigen Sie, dass für Felder φ(x), welche die eichinvariante Klein-Gordon-Gleichung
ie
m2 c2
µ
φ(x) = 0,
Dµ ≡ ∂µ + Aµ
Dµ D + 2
~
~c
erfüllen, der Viererstrom
jµ =
erhalten ist.
i~ † µ
φ D φ − (Dµ φ)† φ
2m