Quantenmechanik, Sommersemester 2011, ¨Ubung 3

Quantenmechanik, Sommersemester 2011, Übung 3
Christof Gattringer, Florian Hebenstreit
Aufgabe 3.1
In der ersten Übung haben wir den unendlich tiefen Potentialtopf in einer Dimension diskutiert. Die dort gewonnenen Resultate sollen jetzt auf
drei Dimensionen verallgemeinert werden. Wir betrachten das Potential
(
V (~r) =
0
∞
für ~r ∈ B
für ~r ∈
/B
,
(1)
wobei B = { ~r | x ∈ [0, Lx ], y ∈ [0, Ly ], z ∈ [0, Lz ] }.
• Schreiben Sie den Hamiltonoperator und die zeitabhängige Schrödingergleichung an.
• Verwenden Sie den Faktorisierungsansatz und wechseln Sie über auf
die zeitfreie Schrödingergleichung.
• Lösen Sie die zeitfreie Schrödingergleichung indem Sie einen Produktansatz für die Wellenfunktion aus Wellenfunktionen von 1-D Problemen verwenden. Die Energieeigenwerte und die Wellenfunktionen werden dann durch drei Quantenzahlen nx , ny , nz indiziert.
• Überlegen Sie ob Ihre Eigenfunktionen ψ(~r)nx ,ny ,nz orthonormal sind.
• Bilden Sie die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung durch Superposition.
• Bestimmen Sie die Koeffizienten cnx ,ny ,nz der allgemeinen Lösung für
den Fall ψ(~r, 0) = C sin(xπ/Lx )2 sin(yπ/Ly )2 sin(zπ/Lz )2 .
Aufgabe 3.2
Um das Arbeiten mit Kommutatoren weiter zu üben und die Einführung
des Spins vorzubereiten, sollen in diesem Beispiel Eigenschaften der Pauli
Matrizen diskutiert werden. Die Pauli Matrizen sind gegeben durch
"
σ1 =
0 1
1 0
#
"
, σ2 =
0 −i
i 0
Behandeln Sie nun die folgenden Fragen:
1
#
"
, σ3 =
1 0
0 −1
#
.
(2)
• Zeigen Sie, dass die Pauli Matrizen hermitisch und unitär sind.
• Beweisen Sie die Vertauschungsrelationen
[ σk , σl ] = i 2 ²klm σm .
(3)
• Verzieren Sie die Pauli Matrizen mit geeigneten Vorfaktoren und konstruieren Sie so neue 2 × 2 Matrizen S1 , S2 und S3 die die gleichen
b i des DrehimVertauschungsrelationen haben wie die Generatoren L
pulsoperators den wir in der letzten Übung diskutiert haben.
• Zeigen Sie die Identität
( ~a · ~σ )2 = |~a|2 1 ,
(4)
wobei ~a ein beliebiger dreikomponentiger Vektor mit reellen Einträgen
ist, und ~a · ~σ = a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 .
• Verwenden Sie diese Identität um zu zeigen, dass
U = ei~a·~σ = b0 1 + i~b · ~σ ,
(5)
gilt, und drücken Sie b0 und ~b durch ~a aus.
• Zeigen Sie, dass U unitär ist, und dass det U = 1 gilt.
Aufgabe 3.3
In einer der nächsten Vorlesungen werden wir den Harmonischen Oszillator im Operatorformalismus diskutieren und zeigen, dass die Eigenzustände
|ni, n = 0, 1, 2 ... , gegeben sind durch
1
|ni = √ (a† )n |0i ,
n!
n = 0, 1, 2 ... .
(6)
Dabei ist |0i der auf 1 normierte Vakuumzustand (h0|0i = 1), und a† der
Erzeugungsoperator. Gemeinsam mit seinem adjungierten Operator a, dem
Vernichtungsoperator, erfüllt er die folgenden Vertauschungsrelationen
[ a , a ] = 0 , [ a † , a† ] = 0 , [ a , a † ] = 1 .
(7)
Der Vernichtungsoperator a annihiliert den Vakuumzustand, d.h., a|0i = 0.
Verwenden Sie die angegebenen Eigenschaften von a und a† um zu zeigen,
dass die Zustände |ni orthonormal sind,
1
1
hn|mi = h0| √ an √ (a† )m |0i = δnm .
n!
m!
2
(8)