Stochastik - TU Chemnitz

Stochastik
Mengenlehre
Oder:
(C tritt ein, wenn entweder A oder B oder beide eintreten)
Und:
(C tritt ein, wenn sowohl A als auch B eintreten)
Gegenereignis:
(C tritt ein, wenn A nicht eintritt)
Sicheres Ereignis:
, Unmögliches Ereignis:
, Elementarereignis:
Rechenregeln
Kommutativität:
Assoziativität:
Distributivität:
,
DE MORGAN’sche Regeln:
weitere:
,
,
,
Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsinhalt
für alle Ereignisse gilt:
und
=1
P ist Wahrscheinlichkeitsmaß falls
paarweise disjunkt, wenn
für alle
, dann
gilt:
P ist Wahrscheinlichkeitsinhalt, falls zusätzlich:

wenn P Wahrscheinlichkeitsmaß ist, gilt:
,
Kombinatorki
Zusammenstellung k Elementen aus n Elementen:
mit Wiederholung
ohne Wiederholung
geordnet (Reihenfolge beachten)
(Variation)
ungeordnet (Reihenfolge nicht beachten)
(Kombination)
Komplemente:
mindestens eins
mindestens n
alle
genau 1
höchstens n
keins
höchstens n-1
mindestens 1 nicht
keins oder mehrere
mindestens n+1
by http://TechnikFreak.speedpage.de
Relative Häufigkeit:
… Anzahl Exp. (in denen A aufgetreten ist)
Laplacesches Modell (endlich viele Zustände, alle gleiche Wahrscheinlichkeit)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Totale Wahrscheinlichkeit:

K: Satz von Bayes:
K: Unabhängige Ereignisse:
2 Ereignisse A, B sind stochastisch unabhängig, wenn:
 dann gilt:
,
für n Ereignisse:
Zufallsgrößen ZG
- Eine ZG X (reelle Zahl) ist Ergebnis eines Zufallsexperiments
- stetige ZG und diskrete ZG (kann endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen)
diskrete Zufallsgrößen
i
1
2
3
P(X= )
P(X= )
P(X= )
…Wahrscheinlichkeitsfunktion (=Zuordnung der ZG X):
Verteilungsfunktion (von X):
~Eigenschaften:
…F ist monoton wachsend,
…F ist rechtsseitig stetig
Erwartungswert (Mittelwert):
Varianz (Streuung,Dispersion):
Standardabweichung:
K: Tschebyscheff’sche Ungleichung:
 setzen:
 für k=3:

-Regel:
by http://TechnikFreak.speedpage.de
verschiedene Verteilungen (diskreter zufallsgrößen)
Geometrische Verteilung:
K: überprüfen Wahrscheinlichkeitsfunktion: 1. Werte zwischen 1 und 0:
(geometr. Reihe:
Erwartungswert:
)
2. Summe=1:
,
Varianz:
Binomialverteilung:
:
,
Voraussetzung: Versuch wird unabhängig n-mal wiederholt, (ZoZ)
Rekursionsformel:
Erwartungswert:
Varianz:
 Bem.: Tschebyscheff’sche Ungleichung liefert für kleine n eine recht grobe Abschätzung
Poissonverteilung:
:
mit
Voraussetzung: Stationarität, Homogenität, Ordinarotät
Erwartungswert:
Varianz:
Hypergeometrische Verteilung:
:
wobei
Erwartungswert:
Varianz:
Stetige Zufallsvariablen
, f heißt Dichte/Dichtefunktion der Zufallsvariable X
Eigenschaften von Dichten 
für alle
,
Verteilungsfunktion:
Eigenschaften der Verteilungsfkt. 
falls f in
…F ist monoton wachsend,
, F stetig in allen Punkten ,
stetig ist, dann ist F in differenzierbar (
Erwartungswert:
Varianz:
by http://TechnikFreak.speedpage.de
verschiedene Verteilungen (stetiger Zufallsvariablen)
Gleichverteilung: Dichtefunktion:
 Erwartungswert:
,
 Varianz:
Exponentialverteilung:
: Dichtefunktion:
Verteilungsfunktion:
 Erwartungswert:
,
 Varianz:
Normalverteilung:
: Dichtefunktion:
Verteilungsfunktion:
 Erwartungswert:
 Varianz:
Standardisierung einer ZV
by http://TechnikFreak.speedpage.de