Vorwort - Uni Kassel

Vorwort
Das Lehrbuch vermittelt anwendungsorientiert den Lehrinhalt der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Induktiven Statistik, wie er in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen vermittelt wird. Erfahrungen in der Lehre zeigen, dass viele Studierende die Inhalte erst verstehen,
wenn sie wenig formal dargestellt sind. Insofern wurde auf manche
mathematische Ableitung verzichtet und stattdessen mehr Wert auf Beispiele und
die Interpretation gelegt.
Um das Auf- und Nacharbeiten zusätzlich zu vereinfachen, sind verschiedene
Darstellungsweisen gewählt worden:
• Normal geschrieben ist der Text, der zum Verständnis der Inhalte unerlässlich ist. Er sollte auf jeden Fall gelesen und verarbeitet werden.
• Besonders wichtige Aussagen sind in einem Kasten dargestellt.
• Grau unterlegt sind weiterführende Erläuterungen, deren Kenntnis zwar
wünschenswert, für das Verständnis aber nicht unbedingt erforderlich sind.
Hierzu zählen etwa mathematische Ableitungen und Beweise.
• Das Lehrbuch enthält zahlreiche Beispiele. Diese sind durchnummeriert und
ihr Ende ist durch das Zeichen "♦" angezeigt. Die Beispiele eignen sich zum
selbstständigen Durchrechnen und für die Klausurvorbereitung. Die Ergebnisse sind in der Regel auf drei Nachkommastellen gerundet.
Fortgeschrittene Studierende und Praktiker, beispielsweise aus der Markt- und
Meinungsforschung und dem Controlling, die sich über die Berechnung und
Interpretation von Konfidenzintervallen oder statistischen Tests informieren
wollen, können hierfür den umfangreichen Index verwenden. Mit Hilfe des
Symbolverzeichnisses lassen sich bei Vorkenntnissen auch einzelne Abschnitte
im Text ohne Kenntnis der vorangegangenen Kapitel problemlos erschließen.
Insbesondere wurde darauf Wert gelegt, den Inhalt auf einem aktuellen Stand zu
halten. So ist beispielsweise der p-Wert in das Kapital der parametrischen Tests
aufgenommen worden, da diese Größe fast ausschließlich von Computerprogrammen verwendet wird. Bei den nichtparametrischen Tests haben wir deshalb
u. a. den U-Test einbezogen, der weit verbreitet und in praktisch alle Statistikprogramme integriert ist.
Das Buch ging aus den Manuskripten zu der Lehrveranstaltung "Statistik II"
sowie dem Lehrbuch "Hans-Friedrich Eckey/Reinhold Kosfeld/Christian Dreger
2002: Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele, 3. Aufl., Wiesbaden" hervor.
Erfahrungen in der Lehre sowie neue Möglichkeiten der Computertechnik
(bessere grafische Darstellungsmöglichkeiten etc.) haben eine vollständige
Neubearbeitung des genannten Lehrbuchs erforderlich gemacht. Insbesondere
wurden die Teile "Deskriptive Statistik" sowie "Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Induktive Statistik" getrennt, was der Zweiteilung der Statistikausbildung an den
VI
Vorwort
meisten Universitäten entspricht. Die "Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Induktive Statistik" setzt zwar das im gleichen Verlag erschienene Lehrbuch zur
Deskriptiven Statistik fort, seine Inhalte sind aber auch problemlos ohne Kenntnis
der Methoden zur Deskriptiven Statistik zu verstehen.
Weiterführende Informationen zum Buch – Folien, Übungsaufgaben, Errata – sind
unter
http://www.wirtschaft.uni-kassel/Eckey/StatistikII.html
hinterlegt. Angaben zu den im Buchhandel erschienenen Aufgabensammlungen
sind ebenso wie Nachweise von alternativen Statistik-Lehrbüchern im Literaturverzeichnis zu finden.
Ein besonderer Dank gilt Frau Iris Tolle, die einen großen Teil des Manuskripts in
eine druckfertige Form umgesetzt hat. Mit ihren Anregungen haben die Herren
Dr. Christian Dreger und Dr. Jürgen Senger zum erfolgreichen Gelingen der Neubearbeitung beigetragen.
Schließlich danken wir noch Frau Susanne Kramer und Frau Annegret Eckert
vom Gabler-Verlag für die gute Zusammenarbeit.
Hans-Friedrich Eckey
Reinhold Kosfeld
Matthias Türck
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ............................................................................................... V
Abbildungsverzeichnis......................................................................XI
Tabellenverzeichnis......................................................................... XV
Symbolverzeichnis........................................................................ XVII
1. Einleitung ...................................................................................... 1
2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ........................ 3
2.1
2.2
2.3
Zufallsexperiment und Ereignisse....................................................... 3
Operationen mit Ereignissen ............................................................... 9
Wahrscheinlichkeiten ........................................................................ 12
3. Kombinatorik.............................................................................. 17
3.1
3.2
Anordnungsprobleme (Permutationen)............................................. 17
Auswahlprobleme.............................................................................. 19
4. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten .......................................... 28
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung ....................................... 28
Einige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten................................ 29
Bedingte Wahrscheinlichkeiten ........................................................ 35
Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes................................ 37
Stochastische Unabhängigkeit .......................................................... 43
5. Zufallsvariable und ihre Verteilung ......................................... 49
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Zufallsvariable................................................................................... 49
Wahrscheinlichkeitsfunktion............................................................. 53
Dichtefunktion................................................................................... 57
Verteilungsfunktion........................................................................... 63
Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen ........................ 73
Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz.............................. 77
Momente und Schiefe........................................................................ 85
VIII
Inhaltsverzeichnis
6. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ............... 89
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Diskrete Gleichverteilung ................................................................. 89
Bernoulli-Verteilung ......................................................................... 91
Binomialverteilung............................................................................ 95
Hypergeometrische Verteilung ....................................................... 101
Geometrische Verteilung ................................................................ 105
Poisson-Verteilung.......................................................................... 109
7. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................ 112
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Stetige Gleichverteilung.................................................................. 112
Exponentialverteilung ..................................................................... 114
Normalverteilung ............................................................................ 117
Chi-Quadrat-Verteilung .................................................................. 131
t-Verteilung ..................................................................................... 135
F-Verteilung .................................................................................... 139
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen ....................................... 142
8.1
8.2
8.3
Wahrscheinlichkeitsfunktion von zwei Zufallsvariablen ............... 142
Dichtefunktion von zwei Zufallsvariablen ..................................... 147
Parameter mehrdimensionaler Verteilungen................................... 151
9. Grenzwertsätze und Approximation von Verteilungen ........ 156
9.1
9.2
9.3
9.4
Tschebyscheffsche Ungleichung .................................................... 156
Gesetz der großen Zahlen ............................................................... 160
Grenzwertsätze................................................................................ 164
Approximation von Verteilungen ................................................... 175
10. Stichproben................................................................................ 180
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
Grundgesamtheit und Stichprobe.................................................... 180
Zufallsauswahl ................................................................................ 181
Stichprobenvariablen und -funktionen............................................ 186
Eigenschaften von Punktschätzern ................................................. 188
Schätzmethoden für Punktschätzer ................................................. 196
Inhaltsverzeichnis
IX
11. Intervallschätzung (Konfidenzintervalle) .............................. 201
11.1 Prinzip des Konfidenzintervalls ...................................................... 201
11.2 Konkrete Konfidenzintervalle......................................................... 208
11.2.1
11.2.2
11.2.3
Erwartungswert (Heterograder Fall)......................................................208
Anteilswert (Homograder Fall)..............................................................212
Varianz...................................................................................................214
11.3 Notwendiger Stichprobenumfang ................................................... 217
12. Parametrische Tests ................................................................. 221
12.1 Einführung....................................................................................... 221
12.2 Parametrische Einstichprobentests.................................................. 237
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.4
Erwartungswert bei bekannter Varianz oder bei unbekannter
Varianz und großen Stichproben (Gauß-Test).......................................238
Erwartungswert bei unbekannter Varianz und kleinen Stichproben (t-Test) .......................................................................................239
Anteilswert (Anteilswerttest).................................................................241
Varianz (Chi-Quadrat-Test für Varianzen)............................................244
12.3 Parametrische Zweistichprobentests ............................................... 247
12.3.1
12.3.2
12.3.3
Erwartungswerte ....................................................................................248
Anteilswerte (Anteilswertdifferenzentest).............................................256
Varianz (F-Test).....................................................................................258
12.4 Zusammenfassung........................................................................... 259
13. Nichtparametrische Tests ........................................................ 261
13.1
13.2
13.3
13.4
Chi-Quadrat-Anpassungstest........................................................... 262
Kolmogorov-Smirnoff-Anpassungstest (KSA-Test) ...................... 267
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest................................................... 269
U-Test.............................................................................................. 273
Anhang A: Rechenregeln für Erwartungswert, Varianz
und Kovarianz............................................................. 279
A.1
A.2
A.3
Erwartungswert ............................................................................... 279
Varianz ............................................................................................ 282
Kovarianz ........................................................................................ 284
Anhang B: Tabellen ........................................................................ 285
Literaturverzeichnis........................................................................ 301
Index ................................................................................................. 303