Prüfungsstoff für die Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Prüfungsstoff für die Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung Die folgende Liste dient zur Orientierung was unbedingt gewusst werden sollte, wenn man zur Vorlesungsprüfung antreten möchte. Die Kapitelnummern beziehen sich auf die Folien. Einziges Hilfsmittel zur Prüfung ist ein nichtprogrammierbarer Taschenrechner. Formelsammlungen sind nicht zugelassen. Kapitel 0 und 1: • Rechenregeln für Mengen • Kolmogorov Axiome (daraus resultierend Berechnen einfacher Wahrscheinlichkeiten) • Laplace’scher Wahrscheinlichkeitsbegriff • Berechnung elementarer kombinatorischer Aufgaben • Binomischer Lehrsatz (mit Herleitung) • Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten • Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (mit Herleitung) • Satz von Bayes (mit Herleitung) • Anwendung des Satz von Bayes in einfachen Beispielen • Unabhängigkeit von Ereignissen Kapitel 2: Konzept der Zufallsvariable im diskreten Fall (Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei gegebener Verteilungsfunktion, Transformation von Zufallsvariablen, Verhalten von Erwartungswert und Varianz unter linearer Transformation, etc.) Von folgenden diskreten Verteilungen sollte die Wahrscheinlichkeitsfunktion auswendig gewusst werden und darauf basierend Mittelwert und Varianz hergeleitet sowie einfache Anwendungsbeispiele behandelt werden können: • Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Poisson-Verteilung • Geometrische Verteilung • Hypergeometrische Verteilung Kapitel 3: Konzept der Zufallsvariable im stetigen Fall (Verteilungsfunktion, Dichtefunktion, Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei gegebener Verteilungsfunktion, Transformation von Zufallsvariablen, etc.) Von folgenden stetigen Verteilungen sollte die Dichte auswendig gewusst werden und darauf basierend Mittelwert und Varianz hergeleitet sowie einfache Anwendungsbeispiele behandelt werden können: • Kontinuierliche Gleichverteilung • Exponentialverteilung (auch Zusammenhang mit Poisson-Verteilung) • Normalverteilung (Standardisierung und Verwendung von Tabellen, Quantile, Approximation der Binomialverteilung) Dichte von Beta und Gamma Verteilung müssen nicht auswendig gewusst werden, allerdings sollte bei Vorgabe der Dichte das Berechnen von Erwartungswert und Varianz beherrscht werden. Kapitel 4: • Konzepte zur Behandlung mehrerer Zufallsvariablen (gemeinsame Verteilungsfunktion, gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion, gemeinsame Dichtefunktion, Randverteilung, Erwartungswert) • Berechnung von einfachen Wahrscheinlichkeiten im bivariaten Fall (diskret) • Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter bivariater Gleichverteilung • Unabhängige Zufallsvariablen (Konzept, auch Faltung zur Berechnung von Summen) • Abhängige Zufallsvariablen (Konzept von Kovarianz und Korrelation – Eigenschaften, Berechnung für einfache Beispiele im diskreten Fall) • Bedingte Verteilungen (Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion, bedingte Dichte, bedingter Erwartungwert, bedingte Varianz, Berechnung für einfache Beispiele im diskreten Fall) • Bivariate Normalverteilung (Kovarianzmatrix, gemeinsame Dichte, Randverteilung, bedingte Dichte) Kapitel 5 und 6: • Erwartungswert und Varianz von Stichproben • Mittelwerte von Quadratsummen (bekanntes µ, unbekanntes µ) • T-Statistik und F-Statistik • Markov-Ungleichung, Chebyshev-Ungleichung • Gesetze der großen Zahl (formulieren und interpretieren) • Zentraler Grenzwertsatz (formulieren und interpretieren)
