Aufgabe 1

Prof. Dr. P. von der Lippe
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Aufgabe 1
a) Das größte Ziel von Radprofi U besteht in einem Sieg bei der Tour de France.
Zur Erreichung dieses Ziels nimmt er sich jedes Jahr vor lange und hart zu
trainieren. Allerdings besteht für ihn immer die Gefahr, dass sein Training
entweder durch eine Grippe (Ereignis G) oder ein zu üppiges Weihnachtsessen
und somit einer ungeplanten Gewichtszunahme (Ereignis Z) gestört wird. Er
selber gibt die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse wie folgt an: P(G) = 0,4 ,
P(Z ) = 0,7 und P(G Ç Z ) = 0,2
i)
Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff wird hier zugrunde gelegt?
ii)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(1 Punkt)
1) keines
2) mindestens eines
3) genau eines
4) höchstens eines
der beiden Ereignisse G und Z eintritt?
(4 x 2 Punkte)
iii) Stellen Sie die folgenden Ereignisse in je einem Venn-Diagramm graphisch
dar
1) U schafft es ohne Grippe und Gewichtszunahme sein Training zu
absolvieren.
2) U wird entweder von einer Grippe oder einer Gewichtszunahme befallen,
schafft es aber zu vermeiden, dass beides eintritt.
(2 x 2 Punkte)
iv) Zeigen Sie, dass die Ereignisse G und Z abhängig sind.
(1 Punkt)
b) U ist der Meinung, dass er die Tour mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 gewinnt
(Ereignis T), wenn er die 12. Etappe gewinnt (Ereignis E). Gewinnt er diese
Etappe nicht, beziffert er die Wahrscheinlichkeit auf einen Gesamtsieg nur mit
0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass er die 12. Etappe gewinnt, liegt für U bei 0,6.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
i)
U die Tour gewinnt
(3 Punkte)
ii)
U die 12. Etappe gewonnen hat, wenn es mit dem Gesamtsieg (mal wieder)
nicht geklappt hat?
(3 Punkte)
Aufgabe 2
a) In einem Becher sind zwei 1 Cent-, drei 2 Cent und ein 5 Cent-Stück. Geben Sie
die Stichprobenverteilung für die Geldsumme bei einer Stichprobe im Umfang n =
2
i)
beim Ziehen mit Zurücklegen
ii)
beim Ziehen ohne Zurücklegen
an.
(2 x 3 Punkte)
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b) Das folgende Diagramm gibt die relativen Häufigkeiten der Zahl „sechs“ beim
Würfeln mit einem Würfel bei n = 50,..., 1000 Versuchen wieder. Es ist zu
erkennen, dass
·
die relative Häufigkeit um die Wahrscheinlichkeit von p = 1 / 6 schwankt
·
die relative Häufigkeit bei n = 150 in eine vorher definierte Epsilon-Umgebung
um p eintritt
·
die relative Häufigkeit diese Epsilon-Umgebung bei n = 600 wieder verlässt
und bei n = 750 erneut eintritt.
0,24
0,22
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
50
150
250
350
450
550
650
750
850
950
Kreuzen Sie bitte an:
Dieser Verlauf widerspricht dem schwachen Gesetz der großen Zahl und ist
daher unmöglich.
Dieser Verlauf widerspricht dem schwachen Gesetz der großen Zahl nicht
und ist daher durchaus denkbar.
(1 Punkt)
Begründen Sie Ihre Antwort.
(3 Punkte)
c) Ein Paketdienst möchte seinen Fuhrpark erneuern. Um die notwendige Größe
der zu bestellenden Fahrzeuge zu ermitteln, möchte das Unternehmen das
durchschnittliche Gewicht der von ihnen gelieferten Pakete ermitteln. Der
Paketdienst unterscheidet vier Paketgrößen: Mini, Normal, Maxi und Jumbo. Es
ist bekannt, dass der Dienst zu je einem Drittel Normal und Maxi-Pakete
ausliefert und sich der Rest gleichmäßig auf Mini- und Jumbo-Pakete aufteilt.
Außerdem sind die folgenden Varianzen des Gewichts der Pakete bekannt:
2
2
2
sMini
= sNormal
= 16 ; sMaxi
= s 2Jumbo = 25
Insgesamt soll eine Stichprobe im Umfang n = 60 gezogen werden. Wie muss
diese Stichprobe auf die verschiedenen Paketgrößen aufgeteilt werden, wenn die
Aufteilung
i)
proportional
ii)
optimal
erfolgen soll.
(3 + 3 Punkte)
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iii)
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Warum heißt die optimale Aufteilung „optimal“? Nennen Sie die
Optimierungsvorschrift einschließlich Nebenbedingung.
(4 Punkte)
Aufgabe 3
a) Ein Getränkehersteller bekommt eine Lieferung Flaschen auf zehn
verschiedenen Paletten. Mit dem Lieferanten ist vereinbart, dass eine Lieferung
zurückgeschickt wird, wenn mehr als 5% der Flaschen Ausschuss sind. Der
Qualitätskontrolleur entschließt sich eine Stichprobe im Umfang n = 50 zu ziehen
und zwar die Stichprobenelemente n1 = 1,..., 20 von der ersten Palette und den
Rest (n2 = 21,...,50) von der zweiten Palette. Zur Schätzung des
Ausschussanteils in der Gesamtlieferung überlegt er sich folgende Funktionen:
i)
pˆ 1 =
1 æ x1 x 2 ö
ç + ÷
2 çè n1 n2 ÷ø
ii)
pˆ 2 =
x1 + x 2
n1 + n2
mit xi = Auschussstücke auf Palette i
ni = Umfang der Stichprobe von Palette i
Beurteilen Sie die beiden Schätzfunktionen bezüglich Erwartungstreue und
Konsistenz.
(2 x 4 Punkte)
b) Eine diskrete Zufallsvariable sei gleichverteilt mit
ì1
ï
für x = 1,2,..., N
f (x ) = í N
ïî 0
sonst
Eine Stichprobe vom Umfang n = 2 ergibt das Ergebnis x1 = 3 und x 2 = 4 .
Geben Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für N ab.
(5 Punkte)
c) Ein Dominostein ist in zwei Hälften unterteilt, die jeweils eine Augenzahl von 0
bis 6 enthalten. Ein Dominospiel besteht aus allen möglichen Paaren dieser
Augenzahlen. Wie viele Dominosteine gibt es? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei zufälligem Ziehen einen Dominostein zu erwischen,
dessen Augensumme größer als acht ist?
(4 + 3 Punkte)
Aufgabe 4
Der Gebrauchtwagenverkäufer G aus H ist der Ansicht, dass es ihm gelingt, jedes
Auto an den Mann bzw. an die Frau zu bringen. Es stellt sich heraus, dass ihm das
tatsächlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% gelingt. Am heutigen Tag rechnet G
damit, dass 10 potenzielle Käufer seinen Laden besuchen. Es sei X die Anzahl
verkaufter Gebrauchtwagen an diesem Tag.
a) Wie ist X verteilt?
(2 Punkte)
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verkauft G
i) mehr als drei Fahrzeuge?
ii)
genau fünf Fahrzeuge?
(2+2 Punkte)
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c) Wie wahrscheinlich ist es, daß er im Verlauf des Tages
i)
4 Fahrzeuge nicht verkauft bekommt, bevor er im 5. Versuch dann erstmals
einem Kunden ein Fahrzeug verkauft?
(2 Punkte)
ii)
mindestens 3 Fahrzeuge nicht verkauft, bevor das erste Auto verkaufen
kann?
(2 Punkte)
d) Mit wievielen nichtverkauften Fahrzeugen vor dem ersten Vertragsabschluss
kann G im Mittel rechen?
(2 Punkte)
e) Vor ca. 12 Jahren -zu Zeiten der Wiedervereinigung- kamen im Schnitt 100
Personen pro Tag um einen gebrauchten Wagen zu erwerben.
f)
i)
Wie war die Anzahl der verkauften Fahrzeuge damals verteilt?
(2 Punkte)
ii)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verkaufte er damals mindestens 60 aber
höchstens 80 Fahrzeuge?
(2 Punkte)
Aufgrund der im Jahr 2002 geänderten Gewährleistungsansprüche ist für G die
Wahrscheinlichkeit ein Fahrzeug zu verkaufen deutlich gesunken. Gleichzeit hat
er seinen Werbeaufwand stark erhöht, so dass eine große Zahl potenzieller
Käufer zu erwarten ist. Er rechnet damit, dass er pro Tag nun lediglich 2
Fahrzeuge verkaufen wird.
i) Wie ist X nun verteilt?
ii)
(2 Punkte)
Wie wahrscheinlich ist es, daß G an einem Tag so viele Autos verkauft, wie
er vor der Gesetzesänderung im Durchschnitt verkauft hat?
(2 Punkte)
Aufgabe 5:
a) Der Bildungsminister eines Landes möchte gerne nähere Kenntnis über die
durchschnittliche Studiendauer der BWL-Studenten haben. Er beauftragt drei
unabhängige Wissenschaftler, welche ihm darüber Auskunft geben sollen.
Diese drei Wissenschaftler gehen mit sehr unterschiedlichen Vorstellungen an
ihre Aufgabe heran:
i)
Wissenschaftler 1 befragt die 10 ehemaligen Studenten in seinem Institut. Er
geht dabei davon aus, daß die Studiendauer in der Grundgesamtheit den
Erwartungswert E(X) = 13 und die Varianz V(X) = 4 besitzt.
ii)
Der zweite Wissenschaftler liess ebenfalls 10 Studenten befragen. Er geht
von einem Erwartungswert von E(X) = 12 und einer Varianz von V(X) = 16
aus. Er vermutet weiter, dass die Studiendauer normalverteilt sei.
iii) Der Dritte im Bunde vermutet einen Erwartungswert E(X) = 13. Er liess 50
Studenten befragen und erhielt eine geschätzte Standardabweichung von 5
Semestern.
Wie groß ist bei diesen drei Vorgehensweisen jeweils die Wahrscheinlichkeit,
dass die durchschnittliche Studiendauer zwischen 11 und 15 Semestern liegt?
(3 + 3 + 3 Punkte)
b) Der Minister beauftragt seinen Mitarbeiter, die Ergebnisse des zweiten und
dritten Wissenschaftlers nochmals genauer zu "durchleuchten", da er nämlich
nicht glaubt, dass sich die beiden Ergebnisse tatsächlich unterscheiden. Der
zweite Wissenschaftler erzielte bei seiner Umfrage einen Mittelwert von x 2 = 12
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Semestern ( σˆ 2 = 16 ) und der dritte Wissenschaftler ermittelte
durchschnittliche Studiendauer von x 3 = 13 Semestern in der Stichprobe.
eine
Testen Sie zum Niveau a=0,05 ob der Unterschied in den beiden Stichprobenergebnissen signifikant ist. (4 Punkte)
c) Die Automobilmarke XYZ führt Crashtests durch um die als normalverteilt angenommenen Reparaturkosten bei einem Frontalaufprall mit 15km/h zu schätzen.
Bei 10 Crashtests erhiel man die folgenden Reparaturkosten:
300, 800, 1440, 1000, 1860, 150, 400, 720, 500, 930
i)
Ermitteln Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Wert µ in der Grundgesamtheit. Benutzen Sie für die Berechnung der Stichprobenvarianz folgende
Formel:
1 n
sˆ =
( x i - x )2
å
n - 1 i =1
2
ii)
(5 Punkte)
Wie lautet das Ergebnis, wenn bekannt ist, daß die Schadenssumme
normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von σ = 500 ? (2 Punkte)
Aufgabe 6:
a) Gegeben sei die zweidimensionale Funktion
ì3 2
ï x y für 0 £ x £ 1 und 0 £ y £ 2
.
f ( xy ) = í 2
ïî 0
sonst
i)
Man zeige, dass f(xy) tatsächlich eine Dichte ist.
(2 Punkte)
ii)
Wie wahrscheinlich ist es, dass X größer als 0,5 ist?
(2 Punkte)
iii) Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig?
(2 Punkte)
b) In einer Stichprobe von n=125 Colatrinkern gaben 68 an, dass sie Coca Cola
gegenüber Pepsi Cola bevorzugen.
i)
Weist dieses Ergebnis darauf hin, dass eine Mehrheit in der Bevölkerung
Coca Cola bevorzugt? Das Signifikanzniveau soll dabei auf 5% festgelegt
werden.
(4 Punkte)
ii)
Wie groß müsste der Stichprobenumfang gewählt werden, damit das obige
Ergebnis signifikant zum Niveau 2,5% wäre?
(2 Punkte)
iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit b für den Fehler 2. Art für H1: p=0,544?
(3 Punkte)
c) Die Zufallsvariablen X1 und X2 sind identisch verteilt mit E(X) = m = E(X1) = E(X2)
= 20 und V(X) = s2 = V(X1) = V(X2) = 30.
Ermitteln Sie die Varianz der Zufallsvariablen
-
Z1 = X1 + X2
-
Z2 = 2X
Was fällt Ihnen auf? Was ist der Unterschied zwischen Z1 und Z2?
(5 Punkte)