Der Chi-Quadrat Unabhängigkeitstest

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W. Krämer: Empirische Analysemethoden
Überblick
8. Mai: Überblick: Fehler und Fallen beim Umgang mit Statistik
15. Mai: Mittelwerte und Streuungsmaße
29. Mai: Korrelation und Kausalität
5. Juni: Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten
12. Juni: Zufallsvariable und Erwartungswerte
19. Juni: Bedingte Wahrscheinlichkeiten
26. Juni: Stichproben und Signifikanztests
3. Juli: Der Chi-Quadrat Unabhängigkeitstest
10 Juli: Regressionsrechnung
Definition: Ein statistischer Test einer Hypothese Ho ist eine
Entscheidungsregel, die auf Grund einer Stichprobe (bzw.
endlich vieler Realisierungen einer Zufallsvariablen)
bestimmt, ob Ho abzulehnen ist (d.h. Ho wird abgelehnt,
wenn die Stichprobe „zu sehr“ im Widerspruch zu Ho).
4 Möglichkeiten:
Ho trifft zu
Ho ist falsch
Ho wird abgelehnt
Fehler 1. Art
korrekte
Entscheidung
Ho wird nicht abgelehnt
korrekte
Entscheidung
Fehler 2. Art
2
Definition: Die maximale Wahrscheinlichkeit für
einen Fehler 1. Art heißt „Signifikanzniveau“
eines Tests (meistens durch den griechischen
Buchstaben
abgekürzt).
3
Aufgabe:
Ein Spielbankbesucher will mit Hilfe eines
statistischen Signifikanztests überprüfen, ob ein
bestimmter Roulettekessel manipuliert ist. Dabei
geht er nach folgender Regel vor: "Ich verwerfe die
Nullhypothese 'Der Kessel ist korrekt', wenn bei
den ersten 10 Würfen 10mal rot erscheint."
a) Wie hoch ist das Signifikanzniveau dieses Tests?
(Vergessen Sie dabei die Null, d.h. P(rot) = 0.5)
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen
Fehler 2. Art, wenn der Kessel so manipuliert ist,
daß immer rot erscheint?
Aufgabe
Was bedeutet es, wenn man sagt: "Ein statistisches Testergebnis ist zu
einem Niveau von 5% signifikant."? Zutreffendes bitte ankreuzen. Es können
eine, keine oder mehrere Antworten richtig sein:
❍
❍
❍
❍
Die jeweilige Nullhypothese wird zu einem Signifikanzniveau
von 5% verworfen.
Die jeweilige Nullhypothese ist mit 95%iger Wahrscheinlichkeit
falsch.
Die jeweilige Alternativhypothese ist mit 95%iger
Wahrscheinlichkeit richtig.
Wenn die Nullhypothese richtig wäre, könnte eine solche oder
noch ungünstigere Stichprobe maximal mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5% zustande kommen.
Anwendung III:
Wiso-Skript Kap. 14.3
6
7
„zu groß“ oder nicht?
etwa bei einem Signifikanzniveau von 10%?
8
Satz:
Falls Ho zutrifft und alle
Zellhäufigkeiten genügend groß sind
(Faustregel: > 5),
dann ist die Prüfgröße V eine
Zufallsvariable mit einer sogenannten
„Chi-Quadrat-Verteilung“
(mit (l-1)x(k-1) Freiheitsgraden).
Anm.: Eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit n
Freiheitsgraden hat die gleiche Verteilungsfunktion wie die
Summe von n quadrierten unabhängigen
standardnormalverteilen Zufallsvariablen.
Dichtefunktion der Chi-quadrat-Verteilung für ausgewählte Freiheitsgrade
10
11
Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung
12
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