W. Krämer: Empirische Analysemethoden Überblick 8. Mai: Überblick: Fehler und Fallen beim Umgang mit Statistik 15. Mai: Mittelwerte und Streuungsmaße 29. Mai: Korrelation und Kausalität 5. Juni: Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten 12. Juni: Zufallsvariable und Erwartungswerte 19. Juni: Bedingte Wahrscheinlichkeiten 26. Juni: Stichproben und Signifikanztests 3. Juli: Der Chi-Quadrat Unabhängigkeitstest 10 Juli: Regressionsrechnung Definition: Ein statistischer Test einer Hypothese Ho ist eine Entscheidungsregel, die auf Grund einer Stichprobe (bzw. endlich vieler Realisierungen einer Zufallsvariablen) bestimmt, ob Ho abzulehnen ist (d.h. Ho wird abgelehnt, wenn die Stichprobe „zu sehr“ im Widerspruch zu Ho). 4 Möglichkeiten: Ho trifft zu Ho ist falsch Ho wird abgelehnt Fehler 1. Art korrekte Entscheidung Ho wird nicht abgelehnt korrekte Entscheidung Fehler 2. Art 2 Definition: Die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art heißt „Signifikanzniveau“ eines Tests (meistens durch den griechischen Buchstaben abgekürzt). 3 Aufgabe: Ein Spielbankbesucher will mit Hilfe eines statistischen Signifikanztests überprüfen, ob ein bestimmter Roulettekessel manipuliert ist. Dabei geht er nach folgender Regel vor: "Ich verwerfe die Nullhypothese 'Der Kessel ist korrekt', wenn bei den ersten 10 Würfen 10mal rot erscheint." a) Wie hoch ist das Signifikanzniveau dieses Tests? (Vergessen Sie dabei die Null, d.h. P(rot) = 0.5) b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn der Kessel so manipuliert ist, daß immer rot erscheint? Aufgabe Was bedeutet es, wenn man sagt: "Ein statistisches Testergebnis ist zu einem Niveau von 5% signifikant."? Zutreffendes bitte ankreuzen. Es können eine, keine oder mehrere Antworten richtig sein: ❍ ❍ ❍ ❍ Die jeweilige Nullhypothese wird zu einem Signifikanzniveau von 5% verworfen. Die jeweilige Nullhypothese ist mit 95%iger Wahrscheinlichkeit falsch. Die jeweilige Alternativhypothese ist mit 95%iger Wahrscheinlichkeit richtig. Wenn die Nullhypothese richtig wäre, könnte eine solche oder noch ungünstigere Stichprobe maximal mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% zustande kommen. Anwendung III: Wiso-Skript Kap. 14.3 6 7 „zu groß“ oder nicht? etwa bei einem Signifikanzniveau von 10%? 8 Satz: Falls Ho zutrifft und alle Zellhäufigkeiten genügend groß sind (Faustregel: > 5), dann ist die Prüfgröße V eine Zufallsvariable mit einer sogenannten „Chi-Quadrat-Verteilung“ (mit (l-1)x(k-1) Freiheitsgraden). Anm.: Eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit n Freiheitsgraden hat die gleiche Verteilungsfunktion wie die Summe von n quadrierten unabhängigen standardnormalverteilen Zufallsvariablen. Dichtefunktion der Chi-quadrat-Verteilung für ausgewählte Freiheitsgrade 10 11 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 12