Übung 9

Übung zur Vorlesung Statistik I für
Biowissenschaften
WS 2016-2017
Übungsblatt 9
3. Januar 2017
Aufgabe 27 (2 Punkte): Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen
mit Erwartungswert 0 und Varianz 1.
Zeigen Sie, dass Z1 = X + Y und Z2 = X − 2Y nicht unabhängig sind.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Varianz von Z1 , Z2 und Z1 + Z2 .
Aufgabe 28 (4 Punkte):
A
Erstellen Sie Stabdiagramme (Argument type=’h’ in plot) der Binomialverteilung für p = 0.3 und n = 10, 100.
B
Bestimmen Sie die Ablehnungsbereiche A10 und A100 für die zweiseitige
Nullhypothese H0 : p = 0.3 (n = 10, 100). Das Signifikanzniveau sei
α = 0.1.
C
Sei p1 = 0.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable X ∼ B(p1 , n) Werte in den Ablehnungsbereichen
A10 bzw. A100 annimmt?
D
Bestimmen Sie die Ablehnungsbereiche für die einseitige Nullhypothese
H0 : p ≤ 0.3 (n = 10, 100). Das Signifikanzniveau sei α = 0.1.
Aufgabe 29 (4 Punkte): Es soll geprüft werden, ob eine Münze fair ist. Dazu
wird sie n = 1000 mal geworfen. Das Ergebnis des Experiments sei k = 450
mal “Kopf“.
A
Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese H0 .
B
Berechnen Sie den P-Wert P .
C
Auf welchen der Signifikanzniveaus α = 0.1, 0.05, 0.01, 0.001 kann H0
abgelehnt werden?
D
Bestimmen Sie den unteren Ablehnungsbereich für das Signifikanzniveau
α = 10%.
Aufgabe 30 (6 Punkte): In einer Medikamentenstudie soll gezeigt werden,
dass die Heilrate p eines neuen Heilmittels über 40% liegt.
A
Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese.
B
In die Studie werden zunächst nur n1 = 10 Patienten eingeschlossen.
Werden von den 10 Patienten nur k1 = 3 oder weniger geheilt, dann wird
die Studie abgebrochen und die Nullhypothese wird beibehalten.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, die Studie nach dieser Regel abzubrechen, wenn p = 0.6 beträgt.
C
Werden von den 10 Patienten mehr als k1 = 3 Patienten geheilt, dann
wird die Studie mit zusätzlich n2 = 20 Patienten fortgesetzt. Werden
schließlich von den insgesamt n = n1 + n2 = 30 Patienten k = 16 oder
mehr Patienten geheilt, dann wird die Nullhypothese abgelehnt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die H0 verworfen wird, obwohl
p = 0.4 gilt (Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art).
Hinweis: Dieses Studiendesign heißt Simon’s Design und wird oft in Studien
mit Heilmittel gegen besonders schwere Erkrankungen eingesetzt. Es erlaubt
einen vorzeitigen Abbruch (hier schon nach der Behandlung von nur 10 Patienten). Dadurch wird erreicht, dass ein möglicherweise wirkungsloses Medikament
an nur wenigen Patienten getestet wird.
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Montag, den 9.1.2017 direkt an
[email protected] (Gergana Stanilova).